একটি গুণোত্তর শ্রেণীর প্রথম ছয়টি পদের যোগফল তার প্রথম তিনটি পদের যোগফলের নয় গুণ। সাধারণ অনুপাত হবে--
Solution
Correct Answer: Option A
মনে করি,
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ = $a$
সাধারণ অনুপাত = $r$
আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি, $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ ; যখন r > 1
প্রশ্নমতে,
প্রথম ৬টি পদের যোগফল = ৯ × প্রথম ৩টি পদের যোগফল
বা, $S_6 = 9 \times S_3$
বা, $\frac{a(r^6 - 1)}{r - 1} = 9 \times \frac{a(r^3 - 1)}{r - 1}$
বা, $(r^3)^2 - 1^2 = 9(r^3 - 1)$ [উভয় পক্ষ থেকে $\frac{a}{r - 1}$ বাদ দিয়ে এবং $r^6$ কে $(r^3)^2$ লিখে]
বা, $(r^3 - 1)(r^3 + 1) = 9(r^3 - 1)$ [সূত্র: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$]
বা, $r^3 + 1 = 9$ [উভয় পক্ষ থেকে $(r^3 - 1)$ ভাগ করে]
বা, $r^3 = 9 - 1$
বা, $r^3 = 8$
বা, $r^3 = 2^3$
$\therefore r = 2$
সুতরাং, সাধারণ অনুপাত ২।
শর্টকাট টেকনিক:
এই ধরণের অংকের ক্ষেত্রে (যেখানে $S_{2n} = k \times S_n$) সাধারণ অনুপাত বের করার সূত্র হলো:
$r^n + 1 = k$
এখানে, $n = 3$ (কারণ প্রথম ৩টি পদের কথা বলা আছে এবং ৬টি পদ তার দ্বিগুণ অর্থাৎ $2n$)
এবং $k = 9$ (নয় গুণ বলা আছে)
সুতরাং,
$r^3 + 1 = 9$
বা, $r^3 = 8$
বা, $r = 2$
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ = $a$
সাধারণ অনুপাত = $r$
আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি, $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ ; যখন r > 1
প্রশ্নমতে,
প্রথম ৬টি পদের যোগফল = ৯ × প্রথম ৩টি পদের যোগফল
বা, $S_6 = 9 \times S_3$
বা, $\frac{a(r^6 - 1)}{r - 1} = 9 \times \frac{a(r^3 - 1)}{r - 1}$
বা, $(r^3)^2 - 1^2 = 9(r^3 - 1)$ [উভয় পক্ষ থেকে $\frac{a}{r - 1}$ বাদ দিয়ে এবং $r^6$ কে $(r^3)^2$ লিখে]
বা, $(r^3 - 1)(r^3 + 1) = 9(r^3 - 1)$ [সূত্র: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$]
বা, $r^3 + 1 = 9$ [উভয় পক্ষ থেকে $(r^3 - 1)$ ভাগ করে]
বা, $r^3 = 9 - 1$
বা, $r^3 = 8$
বা, $r^3 = 2^3$
$\therefore r = 2$
সুতরাং, সাধারণ অনুপাত ২।
শর্টকাট টেকনিক:
এই ধরণের অংকের ক্ষেত্রে (যেখানে $S_{2n} = k \times S_n$) সাধারণ অনুপাত বের করার সূত্র হলো:
$r^n + 1 = k$
এখানে, $n = 3$ (কারণ প্রথম ৩টি পদের কথা বলা আছে এবং ৬টি পদ তার দ্বিগুণ অর্থাৎ $2n$)
এবং $k = 9$ (নয় গুণ বলা আছে)
সুতরাং,
$r^3 + 1 = 9$
বা, $r^3 = 8$
বা, $r = 2$
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
পরীক্ষা – ৭৯
কোর্স নামঃ
প্রাইমারি প্রধান শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি (২য় ব্যাচ)
টপিকসঃ
আন্তর্জাতিক বিষয়াবলী সম্পূর্ণ সিলেবাস (১০০ মার্ক)
৫ ফেব্রুয়ারি থেকে শুরু।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা-৫৪
কোর্স নামঃ
৫১ তম বিসিএস প্রস্ততি - ২৩৬ দিনে সম্পূর্ণ সিলিবাস।
টপিকসঃ
বাংলা সাহিত্য
খুব গুরুত্বপূর্ণঃ কাজী নজরুল ইসলাম।
গুরুত্বপূর্ণঃ মানিক বন্দ্যোপাধ্যায়, এস. ওয়াজেদ আলি, কায়কোবাদ, কাজী ইমদাদুল হক, কাজী আবদুল ওদুদ, জহির রায়হান, জাহানারা ইমাম, দ্বিজেন্দ্রলাল রায়, নির্মলেন্দু গুণ, নুরুল মোমেন, প্যারীচাঁদ মিত্র,।
কম গুরুত্বপূর্ণঃ আবুল হাসান, আসাদ চৌধুরী, আরজ আলী মাতুব্বর, আশরাফ সিদ্দিকী, আহমদ ছফা, ড. আহমদ শরীফ, আহসান হাবীব, আহমদ রফিক, ইব্রাহীম খাঁ, ঈশ্বরচন্দ্র গুপ্ত, উইলিয়াম কেরি, এম. আর. আখতার মুকুল, কাঙাল হরিনাথ, কাজী মোতাহার হোসেন, কামিনী রায়, কালিদাস রায়, কালীপ্রসন্ন ঘোষ, কালীপ্রসন্ন।
খুব গুরুত্বপূর্ণঃ কাজী নজরুল ইসলাম।
গুরুত্বপূর্ণঃ মানিক বন্দ্যোপাধ্যায়, এস. ওয়াজেদ আলি, কায়কোবাদ, কাজী ইমদাদুল হক, কাজী আবদুল ওদুদ, জহির রায়হান, জাহানারা ইমাম, দ্বিজেন্দ্রলাল রায়, নির্মলেন্দু গুণ, নুরুল মোমেন, প্যারীচাঁদ মিত্র,।
কম গুরুত্বপূর্ণঃ আবুল হাসান, আসাদ চৌধুরী, আরজ আলী মাতুব্বর, আশরাফ সিদ্দিকী, আহমদ ছফা, ড. আহমদ শরীফ, আহসান হাবীব, আহমদ রফিক, ইব্রাহীম খাঁ, ঈশ্বরচন্দ্র গুপ্ত, উইলিয়াম কেরি, এম. আর. আখতার মুকুল, কাঙাল হরিনাথ, কাজী মোতাহার হোসেন, কামিনী রায়, কালিদাস রায়, কালীপ্রসন্ন ঘোষ, কালীপ্রসন্ন।
১০ ফেব্রুয়ারি, ২০২৬
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions