২ + ৬ + ১৮ + ...............ধারাটির ৮ পদের সমষ্টি কত?
Solution
Correct Answer: Option D
প্রদত্ত ধারা: $2 + 6 + 18 + ...............$
এটি একটি গুণোত্তর ধারা (Geometric Progression)।
এখানে,
১ম পদ, $a = 2$
সাধারণ অনুপাত, $r = \frac{6}{2} = 3$
যেহেতু সাধারণ অনুপাত $r > 1$, তাই আমাদের সমষ্টির সূত্র হবে:
$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$
যেখানে, পদসংখ্যা $n = 8$
$\therefore$ ধারাটির ৮ টি পদের সমষ্টি,
$S_8 = \frac{2(3^8 - 1)}{3 - 1}$
$= \frac{2(6561 - 1)}{2}$
$= \frac{2 \times 6560}{2}$
$= 6560$
$\therefore$ ধারাটির ৮ টি পদের সমষ্টি $= 6560$
শর্টকাট টেকনিক:
গুণোত্তর ধারার সমষ্টি বের করার জন্য সাধারণত ক্যালকুলেটরের প্রয়োজন হয় কারণ $3^8$ এর মান বের করা সময়সাপেক্ষ। তবে মানগুলো লক্ষ্য করলে বোঝা যায় ধারাটি খুব দ্রুত বাড়ছে।
$2, 6, 18, 54, 162, 486, 1458, 4374$
শেষ পদটি $4374$ হলে এর আগের পদগুলোর যোগফল মিলে মোট সমষ্টি ৬০০০ এর উপরে যাবে তা সহজেই অনুমেয়। আর সরাসরি সূত্র বসালে:
$S_8 = 3^8 - 1 = 6561 - 1 = 6560$ [কারণ এখানে $a = (r-1)$, অর্থাৎ $2 = (3-1)$, তাই হর ও লবের গুণিতক কাটাকাটি হয়ে শুধু $r^n - 1$ থাকে।]
এটি একটি গুণোত্তর ধারা (Geometric Progression)।
এখানে,
১ম পদ, $a = 2$
সাধারণ অনুপাত, $r = \frac{6}{2} = 3$
যেহেতু সাধারণ অনুপাত $r > 1$, তাই আমাদের সমষ্টির সূত্র হবে:
$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$
যেখানে, পদসংখ্যা $n = 8$
$\therefore$ ধারাটির ৮ টি পদের সমষ্টি,
$S_8 = \frac{2(3^8 - 1)}{3 - 1}$
$= \frac{2(6561 - 1)}{2}$
$= \frac{2 \times 6560}{2}$
$= 6560$
$\therefore$ ধারাটির ৮ টি পদের সমষ্টি $= 6560$
শর্টকাট টেকনিক:
গুণোত্তর ধারার সমষ্টি বের করার জন্য সাধারণত ক্যালকুলেটরের প্রয়োজন হয় কারণ $3^8$ এর মান বের করা সময়সাপেক্ষ। তবে মানগুলো লক্ষ্য করলে বোঝা যায় ধারাটি খুব দ্রুত বাড়ছে।
$2, 6, 18, 54, 162, 486, 1458, 4374$
শেষ পদটি $4374$ হলে এর আগের পদগুলোর যোগফল মিলে মোট সমষ্টি ৬০০০ এর উপরে যাবে তা সহজেই অনুমেয়। আর সরাসরি সূত্র বসালে:
$S_8 = 3^8 - 1 = 6561 - 1 = 6560$ [কারণ এখানে $a = (r-1)$, অর্থাৎ $2 = (3-1)$, তাই হর ও লবের গুণিতক কাটাকাটি হয়ে শুধু $r^n - 1$ থাকে।]
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions