১/√ ২ ,১, √ ২..................... ধারাটির কোন পদ ৮√ ২ হবে?
Solution
Correct Answer: Option C
প্রদত্ত ধারাটি হলো: $1/ \sqrt{2}, 1, \sqrt{2}, .....................$
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
এখানে,
প্রথম পদ, $a = 1/ \sqrt{2}$
সাধারণ অনুপাত,
$r = \frac{\text{দ্বিতীয় পদ}}{\text{প্রথম পদ}} = \frac{1}{1/\sqrt{2}} = \sqrt{2}$
অথবা, $r = \frac{\text{তৃতীয় পদ}}{\text{দ্বিতীয় পদ}} = \frac{\sqrt{2}}{1} = \sqrt{2}$
যেহেতু সাধারণ অনুপাত সমান, তাই এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
ধরি, ধারাটির $n$-তম পদ = $8\sqrt{2}$
আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার $n$-তম পদ = $ar^{n-1}$
প্রশ্নমতে,
$ar^{n-1} = 8\sqrt{2}$
বা, $(1/\sqrt{2}) \times (\sqrt{2})^{n-1} = 8\sqrt{2}$ [মান বসিয়ে]
বা, $\frac{(\sqrt{2})^{n-1}}{\sqrt{2}} = 8\sqrt{2}$
বা, $(\sqrt{2})^{n-1} = 8\sqrt{2} \times \sqrt{2}$ [আড়গুণন করে]
বা, $(\sqrt{2})^{n-1} = 8 \times 2$
বা, $(\sqrt{2})^{n-1} = 16$
বা, $(\sqrt{2})^{n-1} = (2)^4$
বা, $(\sqrt{2})^{n-1} = \{(\sqrt{2})^2\}^4$ [যেহেতু $(\sqrt{2})^2 = 2$]
বা, $(\sqrt{2})^{n-1} = (\sqrt{2})^8$
বা, $n - 1 = 8$ [উভয় পাশের ভিত্তি $\sqrt{2}$ বাদ দিয়ে]
বা, $n = 8 + 1$
$\therefore n = 9$
শর্টকাট টেকনিক:
যেকোনো পদ বের করতে চাইলে মুখে মুখেও হিসাব করা যায় যদি ধারাটি ছোট হয়।
১ম পদ: $1/\sqrt{2}$
২য় পদ: $1$ (গুণ $\sqrt{2}$)
৩য় পদ: $\sqrt{2}$ (গুণ $\sqrt{2}$)
৪র্থ পদ: $2$
৫ম পদ: $2\sqrt{2}$
৬ষ্ঠ পদ: $4$
৭ম পদ: $4\sqrt{2}$
৮ম পদ: $8$
৯ম পদ: $8\sqrt{2}$
সুতরাং, $8\sqrt{2}$ হলো ৯ম পদ।
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
এখানে,
প্রথম পদ, $a = 1/ \sqrt{2}$
সাধারণ অনুপাত,
$r = \frac{\text{দ্বিতীয় পদ}}{\text{প্রথম পদ}} = \frac{1}{1/\sqrt{2}} = \sqrt{2}$
অথবা, $r = \frac{\text{তৃতীয় পদ}}{\text{দ্বিতীয় পদ}} = \frac{\sqrt{2}}{1} = \sqrt{2}$
যেহেতু সাধারণ অনুপাত সমান, তাই এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
ধরি, ধারাটির $n$-তম পদ = $8\sqrt{2}$
আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার $n$-তম পদ = $ar^{n-1}$
প্রশ্নমতে,
$ar^{n-1} = 8\sqrt{2}$
বা, $(1/\sqrt{2}) \times (\sqrt{2})^{n-1} = 8\sqrt{2}$ [মান বসিয়ে]
বা, $\frac{(\sqrt{2})^{n-1}}{\sqrt{2}} = 8\sqrt{2}$
বা, $(\sqrt{2})^{n-1} = 8\sqrt{2} \times \sqrt{2}$ [আড়গুণন করে]
বা, $(\sqrt{2})^{n-1} = 8 \times 2$
বা, $(\sqrt{2})^{n-1} = 16$
বা, $(\sqrt{2})^{n-1} = (2)^4$
বা, $(\sqrt{2})^{n-1} = \{(\sqrt{2})^2\}^4$ [যেহেতু $(\sqrt{2})^2 = 2$]
বা, $(\sqrt{2})^{n-1} = (\sqrt{2})^8$
বা, $n - 1 = 8$ [উভয় পাশের ভিত্তি $\sqrt{2}$ বাদ দিয়ে]
বা, $n = 8 + 1$
$\therefore n = 9$
শর্টকাট টেকনিক:
যেকোনো পদ বের করতে চাইলে মুখে মুখেও হিসাব করা যায় যদি ধারাটি ছোট হয়।
১ম পদ: $1/\sqrt{2}$
২য় পদ: $1$ (গুণ $\sqrt{2}$)
৩য় পদ: $\sqrt{2}$ (গুণ $\sqrt{2}$)
৪র্থ পদ: $2$
৫ম পদ: $2\sqrt{2}$
৬ষ্ঠ পদ: $4$
৭ম পদ: $4\sqrt{2}$
৮ম পদ: $8$
৯ম পদ: $8\sqrt{2}$
সুতরাং, $8\sqrt{2}$ হলো ৯ম পদ।
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions