প্রথম n সংখ্যক স্বভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি ২২৫ হলে n-এর মান কত?
Solution
Correct Answer: Option B
আমরা জানি, প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টির সূত্র হলো:
$S_n = \{\frac{n(n + 1)}{2}\}^2$
প্রশ্নানুসারে, ঘনের সমষ্টি = 225
সুতরাং,
$\{\frac{n(n + 1)}{2}\}^2$ = 225
বা, $\frac{n(n + 1)}{2}$ = $\sqrt{225}$ [বর্গমূল করে]
বা, $\frac{n(n + 1)}{2}$ = 15
বা, $n(n + 1)$ = 15 $\times$ 2 [আড়গুণন করে]
বা, $n^2 + n$ = 30
বা, $n^2 + n - 30$ = 0
বা, $n^2 + 6n - 5n - 30$ = 0 [মিডল টার্ম ফ্যাক্টর করে]
বা, $n(n + 6) - 5(n + 6)$ = 0
বা, $(n + 6)(n - 5)$ = 0
হয়,
$n + 6$ = 0
$\therefore n$ = -6 (কিন্তু স্বাভাবিক সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই এটি গ্রহণযোগ্য নয়)
অথবা,
$n - 5$ = 0
$\therefore n$ = 5
নির্ণেয় মান, n = 5
শর্টকাট মেথড (পরীক্ষার জন্য):
ঘন এর সমষ্টির সূত্র মনে রাখার সহজ উপায় হলো এটি স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টির বর্গের সমান। অর্থাৎ, $(\Sigma n)^2 = 225$ হলে, $\Sigma n = \sqrt{225} = 15$।
এখন অপশন টেস্ট করে দেখা যায়, কোন সংখ্যা পর্যন্ত যোগ করলে 15 হয়।
* যদি n = 3 হয়: 1 + 2 + 3 = 6 (হবে না)
* যদি n = 4 হয়: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 (হবে না)
* যদি n = 5 হয়: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 (মিলে গেছে)
অথবা সূত্র ব্যবহার করে মান বসিয়ে চেক করা যায়:
$\{\frac{5(5 + 1)}{2}\}^2 = \{\frac{30}{2}\}^2 = (15)^2 = 225$
সুতরাং, সঠিক উত্তর n = 5।
$S_n = \{\frac{n(n + 1)}{2}\}^2$
প্রশ্নানুসারে, ঘনের সমষ্টি = 225
সুতরাং,
$\{\frac{n(n + 1)}{2}\}^2$ = 225
বা, $\frac{n(n + 1)}{2}$ = $\sqrt{225}$ [বর্গমূল করে]
বা, $\frac{n(n + 1)}{2}$ = 15
বা, $n(n + 1)$ = 15 $\times$ 2 [আড়গুণন করে]
বা, $n^2 + n$ = 30
বা, $n^2 + n - 30$ = 0
বা, $n^2 + 6n - 5n - 30$ = 0 [মিডল টার্ম ফ্যাক্টর করে]
বা, $n(n + 6) - 5(n + 6)$ = 0
বা, $(n + 6)(n - 5)$ = 0
হয়,
$n + 6$ = 0
$\therefore n$ = -6 (কিন্তু স্বাভাবিক সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই এটি গ্রহণযোগ্য নয়)
অথবা,
$n - 5$ = 0
$\therefore n$ = 5
নির্ণেয় মান, n = 5
শর্টকাট মেথড (পরীক্ষার জন্য):
ঘন এর সমষ্টির সূত্র মনে রাখার সহজ উপায় হলো এটি স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টির বর্গের সমান। অর্থাৎ, $(\Sigma n)^2 = 225$ হলে, $\Sigma n = \sqrt{225} = 15$।
এখন অপশন টেস্ট করে দেখা যায়, কোন সংখ্যা পর্যন্ত যোগ করলে 15 হয়।
* যদি n = 3 হয়: 1 + 2 + 3 = 6 (হবে না)
* যদি n = 4 হয়: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 (হবে না)
* যদি n = 5 হয়: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 (মিলে গেছে)
অথবা সূত্র ব্যবহার করে মান বসিয়ে চেক করা যায়:
$\{\frac{5(5 + 1)}{2}\}^2 = \{\frac{30}{2}\}^2 = (15)^2 = 225$
সুতরাং, সঠিক উত্তর n = 5।
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions