প্রথম n সংখ্যক স্বভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি ২২৫ হলে n-এর মান কত?
Solution
Correct Answer: Option B
আমরা জানি, প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টির সূত্র হলো:
$S_n = \{\frac{n(n + 1)}{2}\}^2$
প্রশ্নানুসারে, ঘনের সমষ্টি = 225
সুতরাং,
$\{\frac{n(n + 1)}{2}\}^2$ = 225
বা, $\frac{n(n + 1)}{2}$ = $\sqrt{225}$ [বর্গমূল করে]
বা, $\frac{n(n + 1)}{2}$ = 15
বা, $n(n + 1)$ = 15 $\times$ 2 [আড়গুণন করে]
বা, $n^2 + n$ = 30
বা, $n^2 + n - 30$ = 0
বা, $n^2 + 6n - 5n - 30$ = 0 [মিডল টার্ম ফ্যাক্টর করে]
বা, $n(n + 6) - 5(n + 6)$ = 0
বা, $(n + 6)(n - 5)$ = 0
হয়,
$n + 6$ = 0
$\therefore n$ = -6 (কিন্তু স্বাভাবিক সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই এটি গ্রহণযোগ্য নয়)
অথবা,
$n - 5$ = 0
$\therefore n$ = 5
নির্ণেয় মান, n = 5
শর্টকাট মেথড (পরীক্ষার জন্য):
ঘন এর সমষ্টির সূত্র মনে রাখার সহজ উপায় হলো এটি স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টির বর্গের সমান। অর্থাৎ, $(\Sigma n)^2 = 225$ হলে, $\Sigma n = \sqrt{225} = 15$।
এখন অপশন টেস্ট করে দেখা যায়, কোন সংখ্যা পর্যন্ত যোগ করলে 15 হয়।
* যদি n = 3 হয়: 1 + 2 + 3 = 6 (হবে না)
* যদি n = 4 হয়: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 (হবে না)
* যদি n = 5 হয়: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 (মিলে গেছে)
অথবা সূত্র ব্যবহার করে মান বসিয়ে চেক করা যায়:
$\{\frac{5(5 + 1)}{2}\}^2 = \{\frac{30}{2}\}^2 = (15)^2 = 225$
সুতরাং, সঠিক উত্তর n = 5।
$S_n = \{\frac{n(n + 1)}{2}\}^2$
প্রশ্নানুসারে, ঘনের সমষ্টি = 225
সুতরাং,
$\{\frac{n(n + 1)}{2}\}^2$ = 225
বা, $\frac{n(n + 1)}{2}$ = $\sqrt{225}$ [বর্গমূল করে]
বা, $\frac{n(n + 1)}{2}$ = 15
বা, $n(n + 1)$ = 15 $\times$ 2 [আড়গুণন করে]
বা, $n^2 + n$ = 30
বা, $n^2 + n - 30$ = 0
বা, $n^2 + 6n - 5n - 30$ = 0 [মিডল টার্ম ফ্যাক্টর করে]
বা, $n(n + 6) - 5(n + 6)$ = 0
বা, $(n + 6)(n - 5)$ = 0
হয়,
$n + 6$ = 0
$\therefore n$ = -6 (কিন্তু স্বাভাবিক সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই এটি গ্রহণযোগ্য নয়)
অথবা,
$n - 5$ = 0
$\therefore n$ = 5
নির্ণেয় মান, n = 5
শর্টকাট মেথড (পরীক্ষার জন্য):
ঘন এর সমষ্টির সূত্র মনে রাখার সহজ উপায় হলো এটি স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টির বর্গের সমান। অর্থাৎ, $(\Sigma n)^2 = 225$ হলে, $\Sigma n = \sqrt{225} = 15$।
এখন অপশন টেস্ট করে দেখা যায়, কোন সংখ্যা পর্যন্ত যোগ করলে 15 হয়।
* যদি n = 3 হয়: 1 + 2 + 3 = 6 (হবে না)
* যদি n = 4 হয়: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 (হবে না)
* যদি n = 5 হয়: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 (মিলে গেছে)
অথবা সূত্র ব্যবহার করে মান বসিয়ে চেক করা যায়:
$\{\frac{5(5 + 1)}{2}\}^2 = \{\frac{30}{2}\}^2 = (15)^2 = 225$
সুতরাং, সঠিক উত্তর n = 5।
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
পরীক্ষা-১৫৩
কোর্স নামঃ
৫১ তম বিসিএস প্রস্ততি - ২৩৬ দিনে সম্পূর্ণ সিলিবাস।
টপিকসঃ
ইংরেজি সাহিত্য
The Modern Period & Post Modern Period.
Important Writers: Bertrand Russell, David Herbert Lawrence, Edward Morgan Forster, George Bernard Shaw, George Orwell, James Joyce, Rudyard Kipling, Samuel Beckett, Thomas Stearns Eliot, Virginia Woolf, William Butler Yeats
Other Writers: William Gerald Golding, Winston Churchill, Dylan Thomas, John Masefield, Joseph Conrad, John Millington Synge, Aldous Huxley, Graham Greene, H.G. Wells, Harold Pinter, J.K. Rowling
নোটঃ মূল লেখকদের জীবনী, সাহিত্যকর্ম, অবদান ও স্বীকৃতি বিস্তারিতভাবে এবং অন্যান্য লেখকদের শুধু গুরুত্বপূর্ণ অবদান ও সাহিত্যকর্মের মূল অংশটুকু পড়ুন।
The Modern Period & Post Modern Period.
Important Writers: Bertrand Russell, David Herbert Lawrence, Edward Morgan Forster, George Bernard Shaw, George Orwell, James Joyce, Rudyard Kipling, Samuel Beckett, Thomas Stearns Eliot, Virginia Woolf, William Butler Yeats
Other Writers: William Gerald Golding, Winston Churchill, Dylan Thomas, John Masefield, Joseph Conrad, John Millington Synge, Aldous Huxley, Graham Greene, H.G. Wells, Harold Pinter, J.K. Rowling
নোটঃ মূল লেখকদের জীবনী, সাহিত্যকর্ম, অবদান ও স্বীকৃতি বিস্তারিতভাবে এবং অন্যান্য লেখকদের শুধু গুরুত্বপূর্ণ অবদান ও সাহিত্যকর্মের মূল অংশটুকু পড়ুন।
১০ ফেব্রুয়ারি, ২০২৬
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা – ২৫
কোর্স নামঃ
প্রাইমারি প্রধান শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি (৩য় ব্যাচ)
টপিকসঃ
বাংলা: তারাশঙ্কর বন্দ্যোপাধ্যায়, শহীদুল্লা কায়সার, ড. মুহম্মদ শহীদুল্লাহ, হুমায়ূন আহমেদ, আহমদ ছফা
ইংরেজি: Important Writers of the Modern Ages
গণিত: সম্ভাব্যতা
সাধারণ জ্ঞান: বাংলাদেশের অর্থনীতি, শিল্প-বাণিজ্য
ইংরেজি: Important Writers of the Modern Ages
গণিত: সম্ভাব্যতা
সাধারণ জ্ঞান: বাংলাদেশের অর্থনীতি, শিল্প-বাণিজ্য
১০ জুলাই, ২০২৬ থেকে শুরু।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা – ১০
কোর্স নামঃ
১৯ তম শিক্ষক নিবন্ধন - লেকচারশীট ভিত্তিক।
টপিকসঃ
বাংলা ব্যকরণ:
যুক্তাক্ষর বিশ্লেষণ, বাংলা ণ-ত্ব বিধান ও ষ-ত্ব বিধান
যুক্তাক্ষর বিশ্লেষণ, বাংলা ণ-ত্ব বিধান ও ষ-ত্ব বিধান
(৬ষ্ঠ ব্যাচ) পরীক্ষা শুরুঃ ১০ সেপ্টেম্বর, ২০২৬।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা - ১৫
কোর্স নামঃ
১৯তম শিক্ষক নিবন্ধন প্রস্তুতি - সমাজবিজ্ঞান
টপিকসঃ
সামাজিক পরিবর্তন ও আধুনিকায়ন:
পরিবর্তনের সংজ্ঞা, উৎস, উন্নয়ন ও আধুনিকায়ন, পরিবর্তনের প্রকারভেদ এবং সামাজিক পরিবর্তনের তত্ত্বসমূহ (সরলরেখীয় ও জীব-চক্রাকার তত্ত্ব)।
পরিবর্তনের সংজ্ঞা, উৎস, উন্নয়ন ও আধুনিকায়ন, পরিবর্তনের প্রকারভেদ এবং সামাজিক পরিবর্তনের তত্ত্বসমূহ (সরলরেখীয় ও জীব-চক্রাকার তত্ত্ব)।
পরীক্ষা শুরুঃ ২৬ জুলাই, ২০২৬
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions