12 + 32 + 52 + ....................... + 312 = কত?
Solution
Correct Answer: Option B
আমরা জানি, প্রথম $n$ সংখ্যক বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টির সূত্র হলো:
$\frac{n(4n^2 - 1)}{3}$
অথবা,
$\frac{n(2n - 1)(2n + 1)}{3}$
এখানে সিরিজটি হলো: $1^2 + 3^2 + 5^2 + ....................... + 31^2$
পদসংখ্যা বের করতে হবে। এটি একটি সমান্তর ধারা যার প্রথম পদ $a = 1$, সাধারণ অন্তর $d = 2$, এবং শেষ পদ $= 31$।
ধরি, পদসংখ্যা $= n$
আমরা জানি, $n$-তম পদ $= a + (n-1)d$
বা, $31 = 1 + (n-1)2$
বা, $30 = (n-1)2$
বা, $n-1 = 15$
$\therefore n = 16$
এখন, সূত্রে $n = 16$ বসিয়ে পাই:
সমষ্টি $= \frac{16(4 \times 16^2 - 1)}{3}$
$= \frac{16(4 \times 256 - 1)}{3}$
$= \frac{16(1024 - 1)}{3}$
$= \frac{16 \times 1023}{3}$
$= 16 \times 341$
$= 5456$
বিকল্প পদ্ধতি (সাধারণ সূত্র ব্যবহার করে):
স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টির সূত্র ব্যবহার করেও এটি করা যায়।
প্রদত্ত রাশি $= 1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + 31^2$
আমরা জানি, $1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
এখন, বিজোড় সংখ্যার বর্গের সমষ্টি বের করতে হলে, ১ থেকে ৩১ পর্যন্ত সকল সংখ্যার বর্গের সমষ্টি থেকে জোড় সংখ্যার বর্গের সমষ্টি বিয়োগ করতে হবে।
$\therefore (1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 31^2) - (2^2 + 4^2 + 6^2 + ... + 30^2)$
$= (1^2 + 2^2 + ... + 31^2) - 2^2(1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 15^2)$ [৪ কমন নিয়ে]
$= \frac{31(31+1)(2 \times 31+1)}{6} - 4 \times \frac{15(15+1)(2 \times 15+1)}{6}$
$= \frac{31 \times 32 \times 63}{6} - 4 \times \frac{15 \times 16 \times 31}{6}$
$= (31 \times 16 \times 21) - (2 \times 15 \times 16 \times 31) \div 3$
$= 10416 - 4960$
$= 5456$
সতর্কতা: প্রদত্ত অপশনগুলোতে (২৫৮, ২৫৬, ২৫৪, ২৫২) সঠিক উত্তর নেই। সঠিক উত্তর হবে 5456। প্রশ্ন বা অপশনে ভুল থাকতে পারে। তবে প্রদত্ত অপশন অনুযায়ী কোনো উত্তর মিলছে না বিধায় সঠিক ক্যালকুলশনটি দেখানো হলো।
শর্টকাট টেকনিক (MCQ এর জন্য):
বিজোড় সংখ্যার বর্গের সমষ্টির সরাসরি সূত্র:
$$Sum = \frac{\text{Last Term} \times (\text{Last Term} + 1) \times (\text{Last Term} + 2)}{6}$$
(এখানে Last Term হলো শেষ সংখ্যাটি, পদসংখ্যা নয়)
এখানে শেষ সংখ্যাটি (Last Term) = 31
$\therefore Sum = \frac{31 \times (31+1) \times (31+2)}{6}$
$= \frac{31 \times 32 \times 33}{6}$
$= \frac{32736}{6}$
$= 5456$
$\frac{n(4n^2 - 1)}{3}$
অথবা,
$\frac{n(2n - 1)(2n + 1)}{3}$
এখানে সিরিজটি হলো: $1^2 + 3^2 + 5^2 + ....................... + 31^2$
পদসংখ্যা বের করতে হবে। এটি একটি সমান্তর ধারা যার প্রথম পদ $a = 1$, সাধারণ অন্তর $d = 2$, এবং শেষ পদ $= 31$।
ধরি, পদসংখ্যা $= n$
আমরা জানি, $n$-তম পদ $= a + (n-1)d$
বা, $31 = 1 + (n-1)2$
বা, $30 = (n-1)2$
বা, $n-1 = 15$
$\therefore n = 16$
এখন, সূত্রে $n = 16$ বসিয়ে পাই:
সমষ্টি $= \frac{16(4 \times 16^2 - 1)}{3}$
$= \frac{16(4 \times 256 - 1)}{3}$
$= \frac{16(1024 - 1)}{3}$
$= \frac{16 \times 1023}{3}$
$= 16 \times 341$
$= 5456$
বিকল্প পদ্ধতি (সাধারণ সূত্র ব্যবহার করে):
স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টির সূত্র ব্যবহার করেও এটি করা যায়।
প্রদত্ত রাশি $= 1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + 31^2$
আমরা জানি, $1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
এখন, বিজোড় সংখ্যার বর্গের সমষ্টি বের করতে হলে, ১ থেকে ৩১ পর্যন্ত সকল সংখ্যার বর্গের সমষ্টি থেকে জোড় সংখ্যার বর্গের সমষ্টি বিয়োগ করতে হবে।
$\therefore (1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 31^2) - (2^2 + 4^2 + 6^2 + ... + 30^2)$
$= (1^2 + 2^2 + ... + 31^2) - 2^2(1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 15^2)$ [৪ কমন নিয়ে]
$= \frac{31(31+1)(2 \times 31+1)}{6} - 4 \times \frac{15(15+1)(2 \times 15+1)}{6}$
$= \frac{31 \times 32 \times 63}{6} - 4 \times \frac{15 \times 16 \times 31}{6}$
$= (31 \times 16 \times 21) - (2 \times 15 \times 16 \times 31) \div 3$
$= 10416 - 4960$
$= 5456$
সতর্কতা: প্রদত্ত অপশনগুলোতে (২৫৮, ২৫৬, ২৫৪, ২৫২) সঠিক উত্তর নেই। সঠিক উত্তর হবে 5456। প্রশ্ন বা অপশনে ভুল থাকতে পারে। তবে প্রদত্ত অপশন অনুযায়ী কোনো উত্তর মিলছে না বিধায় সঠিক ক্যালকুলশনটি দেখানো হলো।
শর্টকাট টেকনিক (MCQ এর জন্য):
বিজোড় সংখ্যার বর্গের সমষ্টির সরাসরি সূত্র:
$$Sum = \frac{\text{Last Term} \times (\text{Last Term} + 1) \times (\text{Last Term} + 2)}{6}$$
(এখানে Last Term হলো শেষ সংখ্যাটি, পদসংখ্যা নয়)
এখানে শেষ সংখ্যাটি (Last Term) = 31
$\therefore Sum = \frac{31 \times (31+1) \times (31+2)}{6}$
$= \frac{31 \times 32 \times 33}{6}$
$= \frac{32736}{6}$
$= 5456$
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
পরীক্ষা-১৫৩
কোর্স নামঃ
৫১ তম বিসিএস প্রস্ততি - ২৩৬ দিনে সম্পূর্ণ সিলিবাস।
টপিকসঃ
ইংরেজি সাহিত্য
The Modern Period & Post Modern Period.
Important Writers: Bertrand Russell, David Herbert Lawrence, Edward Morgan Forster, George Bernard Shaw, George Orwell, James Joyce, Rudyard Kipling, Samuel Beckett, Thomas Stearns Eliot, Virginia Woolf, William Butler Yeats
Other Writers: William Gerald Golding, Winston Churchill, Dylan Thomas, John Masefield, Joseph Conrad, John Millington Synge, Aldous Huxley, Graham Greene, H.G. Wells, Harold Pinter, J.K. Rowling
নোটঃ মূল লেখকদের জীবনী, সাহিত্যকর্ম, অবদান ও স্বীকৃতি বিস্তারিতভাবে এবং অন্যান্য লেখকদের শুধু গুরুত্বপূর্ণ অবদান ও সাহিত্যকর্মের মূল অংশটুকু পড়ুন।
The Modern Period & Post Modern Period.
Important Writers: Bertrand Russell, David Herbert Lawrence, Edward Morgan Forster, George Bernard Shaw, George Orwell, James Joyce, Rudyard Kipling, Samuel Beckett, Thomas Stearns Eliot, Virginia Woolf, William Butler Yeats
Other Writers: William Gerald Golding, Winston Churchill, Dylan Thomas, John Masefield, Joseph Conrad, John Millington Synge, Aldous Huxley, Graham Greene, H.G. Wells, Harold Pinter, J.K. Rowling
নোটঃ মূল লেখকদের জীবনী, সাহিত্যকর্ম, অবদান ও স্বীকৃতি বিস্তারিতভাবে এবং অন্যান্য লেখকদের শুধু গুরুত্বপূর্ণ অবদান ও সাহিত্যকর্মের মূল অংশটুকু পড়ুন।
১০ ফেব্রুয়ারি, ২০২৬
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা – ২৫
কোর্স নামঃ
প্রাইমারি প্রধান শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি (৩য় ব্যাচ)
টপিকসঃ
বাংলা: তারাশঙ্কর বন্দ্যোপাধ্যায়, শহীদুল্লা কায়সার, ড. মুহম্মদ শহীদুল্লাহ, হুমায়ূন আহমেদ, আহমদ ছফা
ইংরেজি: Important Writers of the Modern Ages
গণিত: সম্ভাব্যতা
সাধারণ জ্ঞান: বাংলাদেশের অর্থনীতি, শিল্প-বাণিজ্য
ইংরেজি: Important Writers of the Modern Ages
গণিত: সম্ভাব্যতা
সাধারণ জ্ঞান: বাংলাদেশের অর্থনীতি, শিল্প-বাণিজ্য
১০ জুলাই, ২০২৬ থেকে শুরু।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা – ১০
কোর্স নামঃ
১৯ তম শিক্ষক নিবন্ধন - লেকচারশীট ভিত্তিক।
টপিকসঃ
বাংলা ব্যকরণ:
যুক্তাক্ষর বিশ্লেষণ, বাংলা ণ-ত্ব বিধান ও ষ-ত্ব বিধান
যুক্তাক্ষর বিশ্লেষণ, বাংলা ণ-ত্ব বিধান ও ষ-ত্ব বিধান
(৬ষ্ঠ ব্যাচ) পরীক্ষা শুরুঃ ১০ সেপ্টেম্বর, ২০২৬।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা - ১৫
কোর্স নামঃ
১৯তম শিক্ষক নিবন্ধন প্রস্তুতি - সমাজবিজ্ঞান
টপিকসঃ
সামাজিক পরিবর্তন ও আধুনিকায়ন:
পরিবর্তনের সংজ্ঞা, উৎস, উন্নয়ন ও আধুনিকায়ন, পরিবর্তনের প্রকারভেদ এবং সামাজিক পরিবর্তনের তত্ত্বসমূহ (সরলরেখীয় ও জীব-চক্রাকার তত্ত্ব)।
পরিবর্তনের সংজ্ঞা, উৎস, উন্নয়ন ও আধুনিকায়ন, পরিবর্তনের প্রকারভেদ এবং সামাজিক পরিবর্তনের তত্ত্বসমূহ (সরলরেখীয় ও জীব-চক্রাকার তত্ত্ব)।
পরীক্ষা শুরুঃ ২৬ জুলাই, ২০২৬
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions