City B is 5 miles east of city A City C is 10 miles southeast of city B. Which of the following is the closed to the distance from city A to city C?
সমাধান
সঠিক উত্তর: Option D
ধরি, City A এর অবস্থান মূলবিন্দু $(0, 0)$ তে।
প্রশ্নানুসারে, City B, City A থেকে $5$ মাইল পূর্বে অবস্থিত।
সুতরাং, City B এর স্থানাঙ্ক হবে $(5, 0)$।
আবার, City C, City B থেকে $10$ মাইল দক্ষিণ-পূর্বে (Southeast) অবস্থিত।
দক্ষিণ-পূর্ব দিক মানে হলো পূর্ব দিকের সাথে $-45^{\circ}$ বা ঘড়ির কাঁটার দিকে $45^{\circ}$ কোণ।
এখানে City B এর অবস্থানকে মূলবিন্দু ধরলে City C এর স্থানাঙ্ক নির্ণয়ের জন্য আমাদের ত্রিভুজমিতির সাহায্য নিতে হবে।
City B থেকে City C এর অনুভূমিক দূরত্ব (x-axis বরাবর পরিবর্তন) = $10 \times \cos(45^{\circ})$
$ = 10 \times \frac{1}{\sqrt{2}}$
$ = 10 \times 0.707$
$ = 7.07$ মাইল (প্রায়)
City B থেকে City C এর উল্লম্ব দূরত্ব (y-axis বরাবর পরিবর্তন নিচের দিকে) = $10 \times \sin(45^{\circ})$
$ = 10 \times \frac{1}{\sqrt{2}}$
$ = 7.07$ মাইল (প্রায়)
যেহেতু City B এর আগের স্থানাঙ্ক $(5, 0)$, তাই:
City C এর x-স্থানাঙ্ক = $5 + 7.07 = 12.07$
City C এর y-স্থানাঙ্ক = $0 - 7.07 = -7.07$ (যেহেতু দক্ষিণ দিকে তাই বিয়োগ হবে)
এখন, City A $(0,0)$ থেকে City C $(12.07, -7.07)$ এর দূরত্ব নির্ণয়ের সূত্র:
দূরত্ব $AC = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
$
= \sqrt{(12.07 - 0)^2 + (-7.07 - 0)^2}$
$
= \sqrt{(12.07)^2 + (-7.07)^2}$
$
= \sqrt{145.68 + 49.98}$
$
= \sqrt{195.66}$
$
\approx 13.98$ মাইল
যা প্রায় 14 miles এর সমান।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হবে 14 miles.
বিকল্প পদ্ধতি ( কোসাইন সূত্র বা Law of Cosines ব্যবহার করে):
আমরা যদি চিত্রটি কল্পনা করি, তবে একটি ত্রিভুজ $ABC$ গঠিত হয়।
এখানে, $AB = 5$ মাইল এবং $BC = 10$ মাইল।
City B থেকে পূর্ব দিকের সাথে City C এর সৃষ্ট কোণ $45^{\circ}$ (নিচের দিকে)।
কিন্তু ত্রিভুজের ভেতরের কোণটি হবে $\angle ABC = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$।
এখন, কোসাইন সূত্র অনুযায়ী,
$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2(AB)(BC) \cos(\angle ABC)$
$
= 5^2 + 10^2 - 2(5)(10) \cos(135^{\circ})$
$
= 25 + 100 - 100 \times (-0.707)$ [যেহেতু $\cos(135^{\circ}) = -\frac{1}{\sqrt{2}} \approx -0.707$]
$
= 125 - (-70.7)$
$
= 125 + 70.7$
$
= 195.7$
$\therefore AC = \sqrt{195.7} \approx 13.99$ মাইল $\approx \mathbf{14 \text{ miles}}$
পরীক্ষার হলে সহজে উত্তর দেওয়ার শর্টকাট টেকনিক:
এক্ষেত্রে সঠিক অংক না কষেও অনুমান বা লজিক ব্যবহার করা যায়। ত্রিভুজের একটি গুরুত্বপূর্ণ ধর্ম হলো- "ত্রিভুজের যে কোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।"
এখানে একটি বাহু $5$ এবং অন্যটি $10$। তাহলে তৃতীয় বাহু (দূরত্ব) অবশ্যই এমন হবে:
দূরত্ব < $5 + 10$
বা, দূরত্ব < $15$
এবং "ত্রিভুজের যে কোনো দুই বাহুর অন্তর অপেক্ষা তৃতীয় বাহু বৃহত্তর।"
দূরত্ব > $10 - 5$
বা, দূরত্ব > $5$
অর্থাৎ উত্তরটি $5$ ও $15$ এর মাঝে হবে। কিন্তু কোণটি $45^{\circ}$ হওয়ার কারণে বাহুটি $135^{\circ}$ কোণের বিপরীতে আছে। $135^{\circ}$ একটি স্থূল কোণ, তাই বিপরীত বাহুটি অনেক বড় হবে, যা $15$ এর খুব কাছাকাছি হবে। অপশনগুলোর মধ্যে সবচেয়ে বড় এবং $15$ এর নিকটবর্তী সংখ্যাটি হলো $14$। তাই 14 miles উত্তর হওয়ার সম্ভাবনাই সবচেয়ে বেশি।
প্রশ্নানুসারে, City B, City A থেকে $5$ মাইল পূর্বে অবস্থিত।
সুতরাং, City B এর স্থানাঙ্ক হবে $(5, 0)$।
আবার, City C, City B থেকে $10$ মাইল দক্ষিণ-পূর্বে (Southeast) অবস্থিত।
দক্ষিণ-পূর্ব দিক মানে হলো পূর্ব দিকের সাথে $-45^{\circ}$ বা ঘড়ির কাঁটার দিকে $45^{\circ}$ কোণ।
এখানে City B এর অবস্থানকে মূলবিন্দু ধরলে City C এর স্থানাঙ্ক নির্ণয়ের জন্য আমাদের ত্রিভুজমিতির সাহায্য নিতে হবে।
City B থেকে City C এর অনুভূমিক দূরত্ব (x-axis বরাবর পরিবর্তন) = $10 \times \cos(45^{\circ})$
$ = 10 \times \frac{1}{\sqrt{2}}$
$ = 10 \times 0.707$
$ = 7.07$ মাইল (প্রায়)
City B থেকে City C এর উল্লম্ব দূরত্ব (y-axis বরাবর পরিবর্তন নিচের দিকে) = $10 \times \sin(45^{\circ})$
$ = 10 \times \frac{1}{\sqrt{2}}$
$ = 7.07$ মাইল (প্রায়)
যেহেতু City B এর আগের স্থানাঙ্ক $(5, 0)$, তাই:
City C এর x-স্থানাঙ্ক = $5 + 7.07 = 12.07$
City C এর y-স্থানাঙ্ক = $0 - 7.07 = -7.07$ (যেহেতু দক্ষিণ দিকে তাই বিয়োগ হবে)
এখন, City A $(0,0)$ থেকে City C $(12.07, -7.07)$ এর দূরত্ব নির্ণয়ের সূত্র:
দূরত্ব $AC = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
$
= \sqrt{(12.07 - 0)^2 + (-7.07 - 0)^2}$
$
= \sqrt{(12.07)^2 + (-7.07)^2}$
$
= \sqrt{145.68 + 49.98}$
$
= \sqrt{195.66}$
$
\approx 13.98$ মাইল
যা প্রায় 14 miles এর সমান।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হবে 14 miles.
বিকল্প পদ্ধতি ( কোসাইন সূত্র বা Law of Cosines ব্যবহার করে):
আমরা যদি চিত্রটি কল্পনা করি, তবে একটি ত্রিভুজ $ABC$ গঠিত হয়।
এখানে, $AB = 5$ মাইল এবং $BC = 10$ মাইল।
City B থেকে পূর্ব দিকের সাথে City C এর সৃষ্ট কোণ $45^{\circ}$ (নিচের দিকে)।
কিন্তু ত্রিভুজের ভেতরের কোণটি হবে $\angle ABC = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$।
এখন, কোসাইন সূত্র অনুযায়ী,
$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2(AB)(BC) \cos(\angle ABC)$
$
= 5^2 + 10^2 - 2(5)(10) \cos(135^{\circ})$
$
= 25 + 100 - 100 \times (-0.707)$ [যেহেতু $\cos(135^{\circ}) = -\frac{1}{\sqrt{2}} \approx -0.707$]
$
= 125 - (-70.7)$
$
= 125 + 70.7$
$
= 195.7$
$\therefore AC = \sqrt{195.7} \approx 13.99$ মাইল $\approx \mathbf{14 \text{ miles}}$
পরীক্ষার হলে সহজে উত্তর দেওয়ার শর্টকাট টেকনিক:
এক্ষেত্রে সঠিক অংক না কষেও অনুমান বা লজিক ব্যবহার করা যায়। ত্রিভুজের একটি গুরুত্বপূর্ণ ধর্ম হলো- "ত্রিভুজের যে কোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।"
এখানে একটি বাহু $5$ এবং অন্যটি $10$। তাহলে তৃতীয় বাহু (দূরত্ব) অবশ্যই এমন হবে:
দূরত্ব < $5 + 10$
বা, দূরত্ব < $15$
এবং "ত্রিভুজের যে কোনো দুই বাহুর অন্তর অপেক্ষা তৃতীয় বাহু বৃহত্তর।"
দূরত্ব > $10 - 5$
বা, দূরত্ব > $5$
অর্থাৎ উত্তরটি $5$ ও $15$ এর মাঝে হবে। কিন্তু কোণটি $45^{\circ}$ হওয়ার কারণে বাহুটি $135^{\circ}$ কোণের বিপরীতে আছে। $135^{\circ}$ একটি স্থূল কোণ, তাই বিপরীত বাহুটি অনেক বড় হবে, যা $15$ এর খুব কাছাকাছি হবে। অপশনগুলোর মধ্যে সবচেয়ে বড় এবং $15$ এর নিকটবর্তী সংখ্যাটি হলো $14$। তাই 14 miles উত্তর হওয়ার সম্ভাবনাই সবচেয়ে বেশি।
