ত্রিভুজের যে কোন দুটি মধ্যমা পরস্পর সমান হলে ত্রিভুজটি?
Solution
Correct Answer: Option B
মনে করি,
ABC একটি ত্রিভুজ যার দুটি মধ্যমা BE এবং CF পরস্পর সমান। আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে, ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু (Isosceles)। অর্থাৎ, AB = AC।
আমরা জানি,
মধ্যমা হলো ত্রিভুজের কোনো শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত রেখাংশ। ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র (Centroid) মধ্যমাগুলোকে 2:1 অনুপাতে বিভক্ত করে। ধরি, G হলো ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্র।
যেহেতু G বিন্দু BE এবং CF মধ্যমাকে 2:1 অনুপাতে বিভক্ত করে।
অতএব,
BG = (2/3) BE এবং GE = (1/3) BE
CG = (2/3) CF এবং GF = (1/3) CF
প্রশ্নমতে, মধ্যমা দুটি সমান, অর্থাৎ BE = CF।
যেহেতু BE = CF, সুতরাং তাদের অংশগুলোও সমান হবে।
$\therefore$ BG = CG এবং GE = GF।
এখন, $\triangle$BGF এবং $\triangle$CGE এর মধ্যে:
1. BG = CG [প্রমাণিত]
2. GF = GE [প্রমাণিত]
3. $\angle$BGF = $\angle$CGE [বিপ্রতীপ কোণ বলে]
সুতরাং, $\triangle$BGF $\cong$ $\triangle$CGE [বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য অনুসারে]
$\therefore$ BF = CE
যেহেতু F এবং E যথাক্রমে AB এবং AC এর মধ্যবিন্দু,
তাই, AB = 2 $\times$ BF এবং AC = 2 $\times$ CE
$\therefore$ 2 $\times$ BF = 2 $\times$ CE
বা, AB = AC
যেহেতু ত্রিভুজটির দুটি বাহু সমান, তাই $\triangle$ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
শর্টকাট টেকনিক:
মনে রাখার সহজ নিয়ম হলো:
* যদি ত্রিভুজের সবগুলো মধ্যমা সমান হয়, তবে সেটি সমবাহু ত্রিভুজ।
* যদি ত্রিভুজের যেকোনো দুটি মধ্যমা সমান হয়, তবে সেটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
* যদি ত্রিভুজের কোনো মধ্যমাই সমান না হয়, তবে সেটি বিষমবাহু ত্রিভুজ।
যেহেতু প্রশ্নে দুটি মধ্যমা সমান বলা হয়েছে, তাই উত্তর হবে সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
ABC একটি ত্রিভুজ যার দুটি মধ্যমা BE এবং CF পরস্পর সমান। আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে, ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু (Isosceles)। অর্থাৎ, AB = AC।
আমরা জানি,
মধ্যমা হলো ত্রিভুজের কোনো শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত রেখাংশ। ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র (Centroid) মধ্যমাগুলোকে 2:1 অনুপাতে বিভক্ত করে। ধরি, G হলো ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্র।
যেহেতু G বিন্দু BE এবং CF মধ্যমাকে 2:1 অনুপাতে বিভক্ত করে।
অতএব,
BG = (2/3) BE এবং GE = (1/3) BE
CG = (2/3) CF এবং GF = (1/3) CF
প্রশ্নমতে, মধ্যমা দুটি সমান, অর্থাৎ BE = CF।
যেহেতু BE = CF, সুতরাং তাদের অংশগুলোও সমান হবে।
$\therefore$ BG = CG এবং GE = GF।
এখন, $\triangle$BGF এবং $\triangle$CGE এর মধ্যে:
1. BG = CG [প্রমাণিত]
2. GF = GE [প্রমাণিত]
3. $\angle$BGF = $\angle$CGE [বিপ্রতীপ কোণ বলে]
সুতরাং, $\triangle$BGF $\cong$ $\triangle$CGE [বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য অনুসারে]
$\therefore$ BF = CE
যেহেতু F এবং E যথাক্রমে AB এবং AC এর মধ্যবিন্দু,
তাই, AB = 2 $\times$ BF এবং AC = 2 $\times$ CE
$\therefore$ 2 $\times$ BF = 2 $\times$ CE
বা, AB = AC
যেহেতু ত্রিভুজটির দুটি বাহু সমান, তাই $\triangle$ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
শর্টকাট টেকনিক:
মনে রাখার সহজ নিয়ম হলো:
* যদি ত্রিভুজের সবগুলো মধ্যমা সমান হয়, তবে সেটি সমবাহু ত্রিভুজ।
* যদি ত্রিভুজের যেকোনো দুটি মধ্যমা সমান হয়, তবে সেটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
* যদি ত্রিভুজের কোনো মধ্যমাই সমান না হয়, তবে সেটি বিষমবাহু ত্রিভুজ।
যেহেতু প্রশ্নে দুটি মধ্যমা সমান বলা হয়েছে, তাই উত্তর হবে সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
পরীক্ষা – ১১৩
কোর্স নামঃ
১৯ তম শিক্ষক নিবন্ধন - লেকচারশীট ভিত্তিক।
টপিকসঃ
গণিত
বৃত্ত ও ঘনবস্তু
বৃত্ত ও ঘনবস্তু
পরীক্ষা শুরুঃ ৩য় ব্যাচ শুরু ৫ নভেম্বর, ২০২৫।
রুটিন দেখুন
ব্যাচ-১/পরীক্ষা- ৫১
কোর্স নামঃ
সাধারণ জ্ঞান ৭০ মার্ক বেসিক ভিউ বই থেকে
টপিকসঃ
বাংলাদেশ বিষয়াবলি
বাংলাদেশের শিল্প ও বাণিজ্য: basic Terms of Trade, বাংলাদেশের অর্থনীতির সাথে জড়িত আন্তর্জাতিক সম্প্রদায়, বাণিজ্য মন্ত্রণালয়, আমদানি-রপ্তানি, BEZA, বিনিয়োগ তথ্য (পেইজ: ৭৯০-৮০২)
বাংলাদেশের শিল্প ও বাণিজ্য: basic Terms of Trade, বাংলাদেশের অর্থনীতির সাথে জড়িত আন্তর্জাতিক সম্প্রদায়, বাণিজ্য মন্ত্রণালয়, আমদানি-রপ্তানি, BEZA, বিনিয়োগ তথ্য (পেইজ: ৭৯০-৮০২)
৯০০ পেইজের সম্পূর্ণ বই শেষ করা হবে।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা – ৩৯
কোর্স নামঃ
প্রাইমারি প্রধান শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি (২য় ব্যাচ)
টপিকসঃ
বাংলা সাহিত্য সম্পূর্ণ সিলেবাস (১০০ মার্ক)
৫ ফেব্রুয়ারি থেকে শুরু।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা-২৫
কোর্স নামঃ
৫১ তম বিসিএস প্রস্ততি - ২৩৬ দিনে সম্পূর্ণ সিলিবাস।
টপিকসঃ
পরীক্ষা-২৩ ও পরীক্ষা-২৪ এর সিলেবাস থেকে (৫০টি প্রশ্ন)
১০ ফেব্রুয়ারি, ২০২৬
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions