Y=3x+2,y=-3x+2 এবং y=-2দ্বারা গঠিত জ্যামিতিক চিত্রটি কোনটি হবে?
Solution
Correct Answer: Option B
১. প্রথম ও দ্বিতীয় রেখার ছেদবিন্দু:
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে পাই,
$3x + 2 = -3x + 2$
বা, $3x + 3x = 2 - 2$
বা, $6x = 0$
$\therefore x = 0$
$x$ এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, $y = 3(0) + 2 = 2$
$\therefore$ প্রথম ও দ্বিতীয় রেখার ছেদবিন্দু $A(0, 2)$।
২. প্রথম ও তৃতীয় রেখার ছেদবিন্দু:
(i) ও (iii) নং সমীকরণ হতে পাই,
$3x + 2 = -2$
বা, $3x = -2 - 2$
বা, $3x = -4$
$\therefore x = -\frac{4}{3}$
যেহেতু $y = -2$, তাই ছেদবিন্দু $B(-\frac{4}{3}, -2)$।
৩. দ্বিতীয় ও তৃতীয় রেখার ছেদবিন্দু:
(ii) ও (iii) নং সমীকরণ হতে পাই,
$-3x + 2 = -2$
বা, $-3x = -4$
$\therefore x = \frac{4}{3}$
যেহেতু $y = -2$, তাই ছেদবিন্দু $C(\frac{4}{3}, -2)$।
এখন, ত্রিভুজটির শীর্ষবিন্দুগুলো হলো $A(0, 2)$, $B(-\frac{4}{3}, -2)$ এবং $C(\frac{4}{3}, -2)$।
বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য নির্ণয়:
$AB = \sqrt{(0 + \frac{4}{3})^2 + (2 + 2)^2}$
$= \sqrt{\frac{16}{9} + 16} = \sqrt{\frac{16 + 144}{9}} = \sqrt{\frac{160}{9}} = \frac{4\sqrt{10}}{3}$ একক।
$AC = \sqrt{(0 - \frac{4}{3})^2 + (2 + 2)^2}$
$= \sqrt{\frac{16}{9} + 16} = \sqrt{\frac{16 + 144}{9}} = \sqrt{\frac{160}{9}} = \frac{4\sqrt{10}}{3}$ একক।
$BC = \sqrt{(\frac{4}{3} + \frac{4}{3})^2 + (-2 + 2)^2}$
$= \sqrt{(\frac{8}{3})^2} = \frac{8}{3}$ একক।
এখানে দেখা যাচ্ছে, $AB = AC \neq BC$।
যেহেতু ত্রিভুজটির দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান, তাই এটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
বিকল্প পদ্ধতি / শর্টকাট টেকনিক:
সরলরেখাগুলোর ঢাল (slope) লক্ষ্য করি:
প্রথম রেখা $y = 3x + 2$ এর ঢাল, $m_1 = 3$
দ্বিতীয় রেখা $y = -3x + 2$ এর ঢাল, $m_2 = -3$
তৃতীয় রেখা $y = -2$ একটি আনুভূমিক রেখা (x-অক্ষের সমান্তরাল)।
যেহেতু $y = -2$ রেখাটি আনুভূমিক এবং অন্য দুটি রেখার ঢাল সমান ও বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট ($3$ এবং $-3$), তাই এই দুটি রেখা উলম্ব অক্ষের (y-অক্ষ) সাথে সমান কোণ উৎপন্ন করে এবং তারা y-অক্ষের ওপর একই বিন্দুতে ছেদ করে।
যেকোনো ত্রিভুজে যদি ভূমি আনুভূমিক হয় এবং অপর দুই বাহুর ঢাল সাংখ্যিক মানে সমান কিন্তু বিপরীত চিহ্নযুক্ত হয় (যেমন: $m$ এবং $-m$), তবে সেই ত্রিভুজটি অবশ্যই সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ হবে।
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে পাই,
$3x + 2 = -3x + 2$
বা, $3x + 3x = 2 - 2$
বা, $6x = 0$
$\therefore x = 0$
$x$ এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, $y = 3(0) + 2 = 2$
$\therefore$ প্রথম ও দ্বিতীয় রেখার ছেদবিন্দু $A(0, 2)$।
২. প্রথম ও তৃতীয় রেখার ছেদবিন্দু:
(i) ও (iii) নং সমীকরণ হতে পাই,
$3x + 2 = -2$
বা, $3x = -2 - 2$
বা, $3x = -4$
$\therefore x = -\frac{4}{3}$
যেহেতু $y = -2$, তাই ছেদবিন্দু $B(-\frac{4}{3}, -2)$।
৩. দ্বিতীয় ও তৃতীয় রেখার ছেদবিন্দু:
(ii) ও (iii) নং সমীকরণ হতে পাই,
$-3x + 2 = -2$
বা, $-3x = -4$
$\therefore x = \frac{4}{3}$
যেহেতু $y = -2$, তাই ছেদবিন্দু $C(\frac{4}{3}, -2)$।
এখন, ত্রিভুজটির শীর্ষবিন্দুগুলো হলো $A(0, 2)$, $B(-\frac{4}{3}, -2)$ এবং $C(\frac{4}{3}, -2)$।
বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য নির্ণয়:
$AB = \sqrt{(0 + \frac{4}{3})^2 + (2 + 2)^2}$
$= \sqrt{\frac{16}{9} + 16} = \sqrt{\frac{16 + 144}{9}} = \sqrt{\frac{160}{9}} = \frac{4\sqrt{10}}{3}$ একক।
$AC = \sqrt{(0 - \frac{4}{3})^2 + (2 + 2)^2}$
$= \sqrt{\frac{16}{9} + 16} = \sqrt{\frac{16 + 144}{9}} = \sqrt{\frac{160}{9}} = \frac{4\sqrt{10}}{3}$ একক।
$BC = \sqrt{(\frac{4}{3} + \frac{4}{3})^2 + (-2 + 2)^2}$
$= \sqrt{(\frac{8}{3})^2} = \frac{8}{3}$ একক।
এখানে দেখা যাচ্ছে, $AB = AC \neq BC$।
যেহেতু ত্রিভুজটির দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান, তাই এটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
বিকল্প পদ্ধতি / শর্টকাট টেকনিক:
সরলরেখাগুলোর ঢাল (slope) লক্ষ্য করি:
প্রথম রেখা $y = 3x + 2$ এর ঢাল, $m_1 = 3$
দ্বিতীয় রেখা $y = -3x + 2$ এর ঢাল, $m_2 = -3$
তৃতীয় রেখা $y = -2$ একটি আনুভূমিক রেখা (x-অক্ষের সমান্তরাল)।
যেহেতু $y = -2$ রেখাটি আনুভূমিক এবং অন্য দুটি রেখার ঢাল সমান ও বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট ($3$ এবং $-3$), তাই এই দুটি রেখা উলম্ব অক্ষের (y-অক্ষ) সাথে সমান কোণ উৎপন্ন করে এবং তারা y-অক্ষের ওপর একই বিন্দুতে ছেদ করে।
যেকোনো ত্রিভুজে যদি ভূমি আনুভূমিক হয় এবং অপর দুই বাহুর ঢাল সাংখ্যিক মানে সমান কিন্তু বিপরীত চিহ্নযুক্ত হয় (যেমন: $m$ এবং $-m$), তবে সেই ত্রিভুজটি অবশ্যই সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ হবে।
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
পরীক্ষা – ১১২
কোর্স নামঃ
১৯ তম শিক্ষক নিবন্ধন - লেকচারশীট ভিত্তিক।
টপিকসঃ
সাধারণ জ্ঞান – বাংলাদেশ
বাংলাদেশের জাতিগোষ্ঠী ও উপজাতি সংক্রান্ত বিষয়াদি ষষ্ঠ জনশুমারি ও গৃহগণনা ২০২২। বাংলাদেশের খেলাধুলা বাংলাদেশের কৃষ্টি ও সংস্কৃতি বাংলার সংগীত
বাংলাদেশের জাতিগোষ্ঠী ও উপজাতি সংক্রান্ত বিষয়াদি ষষ্ঠ জনশুমারি ও গৃহগণনা ২০২২। বাংলাদেশের খেলাধুলা বাংলাদেশের কৃষ্টি ও সংস্কৃতি বাংলার সংগীত
পরীক্ষা শুরুঃ ৩য় ব্যাচ শুরু ৫ নভেম্বর, ২০২৫।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা – ৩৮
কোর্স নামঃ
প্রাইমারি প্রধান শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি (২য় ব্যাচ)
টপিকসঃ
বাংলা: বানান
ইংরেজি: Literary Terms
গণিত: স্থানাঙ্ক জ্যামিতি, সমস্যা সমাধান
সাধারণ জ্ঞান: শিল্প-বাণিজ্য
ইংরেজি: Literary Terms
গণিত: স্থানাঙ্ক জ্যামিতি, সমস্যা সমাধান
সাধারণ জ্ঞান: শিল্প-বাণিজ্য
৫ ফেব্রুয়ারি থেকে শুরু।
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions