x+y-1=0,x-y+1=0 এবং y+3=0 সরল রেখা তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজটি-
Solution
Correct Answer: Option D
প্রদত্ত সরলরেখা তিনটি হলো:
$x + y - 1 = 0 \quad \dots \dots (i)$
$x - y + 1 = 0 \quad \dots \dots (ii)$
$y + 3 = 0 \quad \dots \dots (iii)$
প্রথমে আমরা রেখাগুলোর ছেদবিন্দু নির্ণয় করে ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো বের করব।
১. A বিন্দু নির্ণয় [(i) ও (ii) এর ছেদবিন্দু]:
সমীকরণ $(i)$ ও $(ii)$ যোগ করে পাই,
$x + y - 1 + x - y + 1 = 0$
$\Rightarrow 2x = 0$
$\therefore x = 0$
(i) নং সমীকরণে $x=0$ বসিয়ে পাই,
$0 + y - 1 = 0$
$\therefore y = 1$
সুতরাং, একটি শীর্ষবিন্দু $A(0, 1)$
২. B বিন্দু নির্ণয় [(ii) ও (iii) এর ছেদবিন্দু]:
(iii) নং হতে পাই, $y = -3$
(ii) নং এ $y = -3$ বসিয়ে পাই,
$x - (-3) + 1 = 0$
$\Rightarrow x + 3 + 1 = 0$
$\Rightarrow x + 4 = 0$
$\therefore x = -4$
সুতরাং, দ্বিতীয় শীর্ষবিন্দু $B(-4, -3)$
৩. C বিন্দু নির্ণয় [(i) ও (iii) এর ছেদবিন্দু]:
(iii) নং হতে পাই, $y = -3$
(i) নং এ $y = -3$ বসিয়ে পাই,
$x + (-3) - 1 = 0$
$\Rightarrow x - 4 = 0$
$\therefore x = 4$
সুতরাং, তৃতীয় শীর্ষবিন্দু $C(4, -3)$
এখন, আমরা বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করব:
$AB = \sqrt{(0 - (-4))^2 + (1 - (-3))^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ একক।
$AC = \sqrt{(0 - 4)^2 + (1 - (-3))^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ একক।
$BC = \sqrt{(4 - (-4))^2 + (-3 - (-3))^2} = \sqrt{(4+4)^2 + 0} = \sqrt{8^2} = 8$ একক।
যেহেতু, $AB = AC = 4\sqrt{2}$ এবং $BC = 8$
অর্থাৎ, ত্রিভুজটির দুটি বাহু সমান কিন্তু তৃতীয় বাহুটি অসমান।
$\therefore$ ত্রিভুজটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
শর্টকাট টেকনিক:
যদি দুটি সরলরেখার সমীকরণে $x$ ও $y$ এর সহগগুলোর স্থান বিনিময় হয় এবং মাঝখানের চিহ্ন বিপরীত হয় (যেমন: $ax + by + c = 0$ এবং $bx - ay + k = 0$), তবে তারা পরস্পর লম্ব হয়।
এখানে $x+y...$ এবং $x-y...$ আছে (১ম রেখার সহগ ১,১ এবং ২য় রেখার ১,-১)। গুণফল $1(1) + 1(-1) = 0$, তাই তারা লম্ব। এর মানে ত্রিভুজটি সমকোণী।
আবার, এই দুটি রেখা $y = -3$ রেখার (অনুভূমিক রেখা) সাথে ছেদ করে সমান কোণ বা প্রতিসম ত্রিভুজ গঠন করবে কিনা তা সহগের মান দেখে অনুমান করা যায়। সহজভাবে ছেদবিন্দুগুলো বের করে বাহুর দূরত্ব দেখাই বুদ্ধিমানের কাজ।
$x + y - 1 = 0 \quad \dots \dots (i)$
$x - y + 1 = 0 \quad \dots \dots (ii)$
$y + 3 = 0 \quad \dots \dots (iii)$
প্রথমে আমরা রেখাগুলোর ছেদবিন্দু নির্ণয় করে ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো বের করব।
১. A বিন্দু নির্ণয় [(i) ও (ii) এর ছেদবিন্দু]:
সমীকরণ $(i)$ ও $(ii)$ যোগ করে পাই,
$x + y - 1 + x - y + 1 = 0$
$\Rightarrow 2x = 0$
$\therefore x = 0$
(i) নং সমীকরণে $x=0$ বসিয়ে পাই,
$0 + y - 1 = 0$
$\therefore y = 1$
সুতরাং, একটি শীর্ষবিন্দু $A(0, 1)$
২. B বিন্দু নির্ণয় [(ii) ও (iii) এর ছেদবিন্দু]:
(iii) নং হতে পাই, $y = -3$
(ii) নং এ $y = -3$ বসিয়ে পাই,
$x - (-3) + 1 = 0$
$\Rightarrow x + 3 + 1 = 0$
$\Rightarrow x + 4 = 0$
$\therefore x = -4$
সুতরাং, দ্বিতীয় শীর্ষবিন্দু $B(-4, -3)$
৩. C বিন্দু নির্ণয় [(i) ও (iii) এর ছেদবিন্দু]:
(iii) নং হতে পাই, $y = -3$
(i) নং এ $y = -3$ বসিয়ে পাই,
$x + (-3) - 1 = 0$
$\Rightarrow x - 4 = 0$
$\therefore x = 4$
সুতরাং, তৃতীয় শীর্ষবিন্দু $C(4, -3)$
এখন, আমরা বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করব:
$AB = \sqrt{(0 - (-4))^2 + (1 - (-3))^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ একক।
$AC = \sqrt{(0 - 4)^2 + (1 - (-3))^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ একক।
$BC = \sqrt{(4 - (-4))^2 + (-3 - (-3))^2} = \sqrt{(4+4)^2 + 0} = \sqrt{8^2} = 8$ একক।
যেহেতু, $AB = AC = 4\sqrt{2}$ এবং $BC = 8$
অর্থাৎ, ত্রিভুজটির দুটি বাহু সমান কিন্তু তৃতীয় বাহুটি অসমান।
$\therefore$ ত্রিভুজটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
শর্টকাট টেকনিক:
যদি দুটি সরলরেখার সমীকরণে $x$ ও $y$ এর সহগগুলোর স্থান বিনিময় হয় এবং মাঝখানের চিহ্ন বিপরীত হয় (যেমন: $ax + by + c = 0$ এবং $bx - ay + k = 0$), তবে তারা পরস্পর লম্ব হয়।
এখানে $x+y...$ এবং $x-y...$ আছে (১ম রেখার সহগ ১,১ এবং ২য় রেখার ১,-১)। গুণফল $1(1) + 1(-1) = 0$, তাই তারা লম্ব। এর মানে ত্রিভুজটি সমকোণী।
আবার, এই দুটি রেখা $y = -3$ রেখার (অনুভূমিক রেখা) সাথে ছেদ করে সমান কোণ বা প্রতিসম ত্রিভুজ গঠন করবে কিনা তা সহগের মান দেখে অনুমান করা যায়। সহজভাবে ছেদবিন্দুগুলো বের করে বাহুর দূরত্ব দেখাই বুদ্ধিমানের কাজ।
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
পরীক্ষা – ১১২
কোর্স নামঃ
১৯ তম শিক্ষক নিবন্ধন - লেকচারশীট ভিত্তিক।
টপিকসঃ
সাধারণ জ্ঞান – বাংলাদেশ
বাংলাদেশের জাতিগোষ্ঠী ও উপজাতি সংক্রান্ত বিষয়াদি ষষ্ঠ জনশুমারি ও গৃহগণনা ২০২২। বাংলাদেশের খেলাধুলা বাংলাদেশের কৃষ্টি ও সংস্কৃতি বাংলার সংগীত
বাংলাদেশের জাতিগোষ্ঠী ও উপজাতি সংক্রান্ত বিষয়াদি ষষ্ঠ জনশুমারি ও গৃহগণনা ২০২২। বাংলাদেশের খেলাধুলা বাংলাদেশের কৃষ্টি ও সংস্কৃতি বাংলার সংগীত
পরীক্ষা শুরুঃ ৩য় ব্যাচ শুরু ৫ নভেম্বর, ২০২৫।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা – ৩৮
কোর্স নামঃ
প্রাইমারি প্রধান শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি (২য় ব্যাচ)
টপিকসঃ
বাংলা: বানান
ইংরেজি: Literary Terms
গণিত: স্থানাঙ্ক জ্যামিতি, সমস্যা সমাধান
সাধারণ জ্ঞান: শিল্প-বাণিজ্য
ইংরেজি: Literary Terms
গণিত: স্থানাঙ্ক জ্যামিতি, সমস্যা সমাধান
সাধারণ জ্ঞান: শিল্প-বাণিজ্য
৫ ফেব্রুয়ারি থেকে শুরু।
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions