সামন্তরিক ক্ষেত্র ABCD - এর অভ্যন্তরে P যে কোন একটি বিন্দু নিলে ∆APB- এর ক্ষেত্রফল + ∆PCD- এর ক্ষেত্রফল সামন্তরিক ABCD- এর ক্ষেত্রফলের কতগুণ?
সমাধান
সঠিক উত্তর: Option D
মনে করি, ABCD একটি সামান্তরিক এবং এর অভ্যন্তরে P যেকোনো একটি বিন্দু।
আমাদের নির্ণয় করতে হবে, $\Delta APB$ এর ক্ষেত্রফল + $\Delta PCD$ এর ক্ষেত্রফল = সামান্তরিক ABCD এর ক্ষেত্রফলের কত গুণ।
অঙ্কন:
P বিন্দু দিয়ে AD ও BC বাহুর সমান্তরাল করে একটি সরলরেখা EF টানি, যা AB বাহুকে E বিন্দুতে এবং CD বাহুকে F বিন্দুতে ছেদ করে।
তাহলে, AEFD একটি সামান্তরিক এবং EBCF ও একটি সামান্তরিক।
প্রমাণ:
আমরা জানি, একই ভূমি এবং একই সমান্তরাল যুগলের মধ্যে অবস্থিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সামান্তরিকের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক।
১. $\Delta APB$ এবং সামান্তরিক AEFD একই ভূমি এবং একই সমান্তরাল যুগলের মধ্যে অবস্থিত নয়। বরং আমাদের P বিন্দু থেকে AB এর সমান্তরাল রেখা টানলে প্রমাণটি আরও সহজ হবে।
বিকল্প ও সহজ অঙ্কন: P বিন্দু দিয়ে AD বা BC এর সমান্তরাল একটি রেখা MN টানি যা AB কে M এবং DC কে N বিন্দুতে ছেদ করে। অথবা, P বিন্দু দিয়ে AB বা DC এর সমান্তরাল একটি রেখা EF টানি যা AD কে E এবং BC কে F বিন্দুতে ছেদ করে।
পাঠ্যবইয়ের প্রচলিত পদ্ধতি অনুযায়ী, P বিন্দু দিয়ে AB ও DC বাহুর সমান্তরাল করে একটি সরলরেখা EF আঁকি, যেখানে E বিন্দু AD এর উপর এবং F বিন্দু BC এর উপর অবস্থিত।
এখন, সামান্তরিক ABFE-এর মধ্যে $\Delta APB$ এবং সামান্তরিক ABFE একই ভূমি AB এর উপর এবং একই সমান্তরাল যুগল AB ও EF এর মধ্যে অবস্থিত।
সুতরাং, $\Delta APB$ এর ক্ষেত্রফল = $1/2$ $\times$ (সামান্তরিক ABFE এর ক্ষেত্রফল) .........(i)
আবার, সামান্তরিক DCFE-এর মধ্যে $\Delta PCD$ এবং সামান্তরিক DCFE একই ভূমি CD (বা DC) এর উপর এবং একই সমান্তরাল যুগল DC ও EF এর মধ্যে অবস্থিত।
সুতরাং, $\Delta PCD$ এর ক্ষেত্রফল = $1/2$ $\times$ (সামান্তরিক DCFE এর ক্ষেত্রফল) .........(ii)
এখন, (i) ও (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
$\Delta APB$ এর ক্ষেত্রফল + $\Delta PCD$ এর ক্ষেত্রফল
= $1/2$ $\times$ (সামান্তরিক ABFE এর ক্ষেত্রফল) + $1/2$ $\times$ (সামান্তরিক DCFE এর ক্ষেত্রফল)
= $1/2$ $\times$ (সামান্তরিক ABFE এর ক্ষেত্রফল + সামান্তরিক DCFE এর ক্ষেত্রফল)
= $1/2$ $\times$ (সামান্তরিক ABCD এর ক্ষেত্রফল)
অতএব, $\Delta APB$ এবং $\Delta PCD$ এর ক্ষেত্রফলের সমষ্টি সামান্তরিক ABCD এর ক্ষেত্রফলের অর্ধেক বা ১/২ গুণ ।
শর্টকাট টেকনিক:
সামান্তরিকের অভ্যন্তরে যেকোনো বিন্দুর জন্য, বিপরীতমুখী দুটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি সর্বদা সামান্তরিকের মোট ক্ষেত্রফলের অর্ধেক হয়।
অর্থাৎ, Area($\Delta APB$) + Area($\Delta PCD$) = $1/2$ $\times$ Area(ABCD).
একইভাবে, Area($\Delta APD$) + Area($\Delta BPC$) = $1/2$ $\times$ Area(ABCD).
আমাদের নির্ণয় করতে হবে, $\Delta APB$ এর ক্ষেত্রফল + $\Delta PCD$ এর ক্ষেত্রফল = সামান্তরিক ABCD এর ক্ষেত্রফলের কত গুণ।
অঙ্কন:
P বিন্দু দিয়ে AD ও BC বাহুর সমান্তরাল করে একটি সরলরেখা EF টানি, যা AB বাহুকে E বিন্দুতে এবং CD বাহুকে F বিন্দুতে ছেদ করে।
তাহলে, AEFD একটি সামান্তরিক এবং EBCF ও একটি সামান্তরিক।
প্রমাণ:
আমরা জানি, একই ভূমি এবং একই সমান্তরাল যুগলের মধ্যে অবস্থিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সামান্তরিকের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক।
১. $\Delta APB$ এবং সামান্তরিক AEFD একই ভূমি এবং একই সমান্তরাল যুগলের মধ্যে অবস্থিত নয়। বরং আমাদের P বিন্দু থেকে AB এর সমান্তরাল রেখা টানলে প্রমাণটি আরও সহজ হবে।
বিকল্প ও সহজ অঙ্কন: P বিন্দু দিয়ে AD বা BC এর সমান্তরাল একটি রেখা MN টানি যা AB কে M এবং DC কে N বিন্দুতে ছেদ করে। অথবা, P বিন্দু দিয়ে AB বা DC এর সমান্তরাল একটি রেখা EF টানি যা AD কে E এবং BC কে F বিন্দুতে ছেদ করে।
পাঠ্যবইয়ের প্রচলিত পদ্ধতি অনুযায়ী, P বিন্দু দিয়ে AB ও DC বাহুর সমান্তরাল করে একটি সরলরেখা EF আঁকি, যেখানে E বিন্দু AD এর উপর এবং F বিন্দু BC এর উপর অবস্থিত।
এখন, সামান্তরিক ABFE-এর মধ্যে $\Delta APB$ এবং সামান্তরিক ABFE একই ভূমি AB এর উপর এবং একই সমান্তরাল যুগল AB ও EF এর মধ্যে অবস্থিত।
সুতরাং, $\Delta APB$ এর ক্ষেত্রফল = $1/2$ $\times$ (সামান্তরিক ABFE এর ক্ষেত্রফল) .........(i)
আবার, সামান্তরিক DCFE-এর মধ্যে $\Delta PCD$ এবং সামান্তরিক DCFE একই ভূমি CD (বা DC) এর উপর এবং একই সমান্তরাল যুগল DC ও EF এর মধ্যে অবস্থিত।
সুতরাং, $\Delta PCD$ এর ক্ষেত্রফল = $1/2$ $\times$ (সামান্তরিক DCFE এর ক্ষেত্রফল) .........(ii)
এখন, (i) ও (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
$\Delta APB$ এর ক্ষেত্রফল + $\Delta PCD$ এর ক্ষেত্রফল
= $1/2$ $\times$ (সামান্তরিক ABFE এর ক্ষেত্রফল) + $1/2$ $\times$ (সামান্তরিক DCFE এর ক্ষেত্রফল)
= $1/2$ $\times$ (সামান্তরিক ABFE এর ক্ষেত্রফল + সামান্তরিক DCFE এর ক্ষেত্রফল)
= $1/2$ $\times$ (সামান্তরিক ABCD এর ক্ষেত্রফল)
অতএব, $\Delta APB$ এবং $\Delta PCD$ এর ক্ষেত্রফলের সমষ্টি সামান্তরিক ABCD এর ক্ষেত্রফলের অর্ধেক বা ১/২ গুণ ।
শর্টকাট টেকনিক:
সামান্তরিকের অভ্যন্তরে যেকোনো বিন্দুর জন্য, বিপরীতমুখী দুটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি সর্বদা সামান্তরিকের মোট ক্ষেত্রফলের অর্ধেক হয়।
অর্থাৎ, Area($\Delta APB$) + Area($\Delta PCD$) = $1/2$ $\times$ Area(ABCD).
একইভাবে, Area($\Delta APD$) + Area($\Delta BPC$) = $1/2$ $\times$ Area(ABCD).
