দুটি পরস্পর ছেদী বৃত্তে কয়টি সাধারণ স্পর্শক আঁকা যায়?
Solution
Correct Answer: Option A
যখন দুটি বৃত্ত পরস্পরকে দুইটি বিন্দুতে ছেদ করে, তখন তাদের সাধারণ স্পর্শকের সংখ্যা নির্ণয় করার জন্য জ্যামিতিক চিত্র ও যুক্তি ব্যবহার করা হয়।
ধরি, দুইটি বৃত্ত $A$ এবং $B$ পরস্পরকে $P$ এবং $Q$ বিন্দুতে ছেদ করেছে।
যেহেতু বৃত্ত দুটি একে অপরের ভেতরে প্রবেশ করেছে কিন্তু সম্পূর্ণভাবে একীভূত বা সমান নয়, তাই এদের কেন্দ্রের সংযোগকারী রেখাংশ বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধদ্বয়ের সমষ্টির চেয়ে ছোট কিন্তু তাদের অন্তরের চেয়ে বড় হয়।
এই অবস্থায়:
১. সরল সাধারণ স্পর্শক: বৃত্ত দুটির উপরের দিকে একটি এবং নিচের দিকে একটি করে মোট ২টি সরল সাধারণ স্পর্শক (Direct Common Tangent) আঁকা সম্ভব।
২. তীর্যক সাধারণ স্পর্শক: যেহেতু বৃত্ত দুটি পরস্পরকে ছেদ করেছে, তাই এদের মাঝখান দিয়ে কোনো আড়াআড়ি বা তীর্যক স্পর্শক (Transverse Common Tangent) আঁকা সম্ভব নয়। কারণ, মাঝখান দিয়ে কোনো রেখা টানলে তা বৃত্ত দুটির ছেদবিন্দু দিয়ে যাবে, যা জ্যামিতিকভাবে 'স্পর্শক' না হয়ে 'জ্যা' বা ছেদক হয়ে যাবে।
সুতরাং, দুইটি পরস্পর ছেদী বৃত্তের ক্ষেত্রে কেবল ২টি সাধারণ স্পর্শক আঁকা যায়।
শর্টকার্ট টেকনিক:
বৃত্তের অবস্থানের উপর ভিত্তি করে স্পর্শকের সংখ্যা মনে রাখার সহজ নিয়ম:
* বৃত্ত দুটি পরস্পর পৃথক থাকলে (দূরে থাকলে): ৪টি স্পর্শক।
* বৃত্ত দুটি বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করলে: ৩টি স্পর্শক।
* বৃত্ত দুটি পরস্পর ছেদী হলে (একে অপরকে কাটলে): ২টি স্পর্শক। (আমাদের প্রশ্নের উত্তর এটি)
* বৃত্ত দুটি অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করলে: ১টি স্পর্শক।
* একটি বৃত্ত অপরটির সম্পূর্ণ ভেতরে থাকলে: ০টি (কোনো স্পর্শক নেই)।
ধরি, দুইটি বৃত্ত $A$ এবং $B$ পরস্পরকে $P$ এবং $Q$ বিন্দুতে ছেদ করেছে।
যেহেতু বৃত্ত দুটি একে অপরের ভেতরে প্রবেশ করেছে কিন্তু সম্পূর্ণভাবে একীভূত বা সমান নয়, তাই এদের কেন্দ্রের সংযোগকারী রেখাংশ বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধদ্বয়ের সমষ্টির চেয়ে ছোট কিন্তু তাদের অন্তরের চেয়ে বড় হয়।
এই অবস্থায়:
১. সরল সাধারণ স্পর্শক: বৃত্ত দুটির উপরের দিকে একটি এবং নিচের দিকে একটি করে মোট ২টি সরল সাধারণ স্পর্শক (Direct Common Tangent) আঁকা সম্ভব।
২. তীর্যক সাধারণ স্পর্শক: যেহেতু বৃত্ত দুটি পরস্পরকে ছেদ করেছে, তাই এদের মাঝখান দিয়ে কোনো আড়াআড়ি বা তীর্যক স্পর্শক (Transverse Common Tangent) আঁকা সম্ভব নয়। কারণ, মাঝখান দিয়ে কোনো রেখা টানলে তা বৃত্ত দুটির ছেদবিন্দু দিয়ে যাবে, যা জ্যামিতিকভাবে 'স্পর্শক' না হয়ে 'জ্যা' বা ছেদক হয়ে যাবে।
সুতরাং, দুইটি পরস্পর ছেদী বৃত্তের ক্ষেত্রে কেবল ২টি সাধারণ স্পর্শক আঁকা যায়।
শর্টকার্ট টেকনিক:
বৃত্তের অবস্থানের উপর ভিত্তি করে স্পর্শকের সংখ্যা মনে রাখার সহজ নিয়ম:
* বৃত্ত দুটি পরস্পর পৃথক থাকলে (দূরে থাকলে): ৪টি স্পর্শক।
* বৃত্ত দুটি বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করলে: ৩টি স্পর্শক।
* বৃত্ত দুটি পরস্পর ছেদী হলে (একে অপরকে কাটলে): ২টি স্পর্শক। (আমাদের প্রশ্নের উত্তর এটি)
* বৃত্ত দুটি অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করলে: ১টি স্পর্শক।
* একটি বৃত্ত অপরটির সম্পূর্ণ ভেতরে থাকলে: ০টি (কোনো স্পর্শক নেই)।
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
পরীক্ষা – ১১৩
কোর্স নামঃ
১৯ তম শিক্ষক নিবন্ধন - লেকচারশীট ভিত্তিক।
টপিকসঃ
গণিত
বৃত্ত ও ঘনবস্তু
বৃত্ত ও ঘনবস্তু
পরীক্ষা শুরুঃ ৩য় ব্যাচ শুরু ৫ নভেম্বর, ২০২৫।
রুটিন দেখুন
ব্যাচ-১/পরীক্ষা- ৫১
কোর্স নামঃ
সাধারণ জ্ঞান ৭০ মার্ক বেসিক ভিউ বই থেকে
টপিকসঃ
বাংলাদেশ বিষয়াবলি
বাংলাদেশের শিল্প ও বাণিজ্য: basic Terms of Trade, বাংলাদেশের অর্থনীতির সাথে জড়িত আন্তর্জাতিক সম্প্রদায়, বাণিজ্য মন্ত্রণালয়, আমদানি-রপ্তানি, BEZA, বিনিয়োগ তথ্য (পেইজ: ৭৯০-৮০২)
বাংলাদেশের শিল্প ও বাণিজ্য: basic Terms of Trade, বাংলাদেশের অর্থনীতির সাথে জড়িত আন্তর্জাতিক সম্প্রদায়, বাণিজ্য মন্ত্রণালয়, আমদানি-রপ্তানি, BEZA, বিনিয়োগ তথ্য (পেইজ: ৭৯০-৮০২)
৯০০ পেইজের সম্পূর্ণ বই শেষ করা হবে।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা – ৩৯
কোর্স নামঃ
প্রাইমারি প্রধান শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি (২য় ব্যাচ)
টপিকসঃ
বাংলা সাহিত্য সম্পূর্ণ সিলেবাস (১০০ মার্ক)
৫ ফেব্রুয়ারি থেকে শুরু।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা-২৫
কোর্স নামঃ
৫১ তম বিসিএস প্রস্ততি - ২৩৬ দিনে সম্পূর্ণ সিলিবাস।
টপিকসঃ
পরীক্ষা-২৩ ও পরীক্ষা-২৪ এর সিলেবাস থেকে (৫০টি প্রশ্ন)
১০ ফেব্রুয়ারি, ২০২৬
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions