বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের কত গুণ?
Solution
Correct Answer: Option C
মনে করি, `O` কেন্দ্রবিশিষ্ট `ABC` একটি বৃত্ত। তার একই উপচাপ `BC` এর ওপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ `∠BOC` এবং বৃত্তস্থ কোণ (বা পরিধিস্থ কোণ) `∠BAC`।
প্রমাণ করতে হবে যে, `∠BOC = 2∠BAC`
অঙ্কন: মনে করি, `AB` রেখাংশ কেন্দ্র `O` দিয়ে যায় না। এ ক্ষেত্রে `A` বিন্দু দিয়ে কেন্দ্রগামী রেখাংশ `AD` আঁকি।
প্রমাণ:
`ΔAOB`-এর বহিঃস্থ কোণ `∠BOD` = অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি
অর্থাৎ, `∠BOD = ∠BAO + ∠ABO`
ধাপ ১: `ΔAOB`-এ `OA = OB` [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে]
সুতরাং, `∠BAO = ∠ABO` [সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন কোণদ্বয় সমান]
অতএব, `∠BOD = ∠BAO + ∠BAO`
বা, `∠BOD = 2∠BAO` ........... (i)
ধাপ ২: একইভাবে `ΔAOC` থেকে প্রমাণ করা যায় যে,
`∠COD = 2∠CAO` ........... (ii)
ধাপ ৩: এখন (i) ও (ii) যোগ করে পাই,
`∠BOD + ∠COD = 2∠BAO + 2∠CAO`
বা, `∠BOC = 2(∠BAO + ∠CAO)`
বা, `∠BOC = 2∠BAC`
সুতরাং, একই চাপের ওপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
শর্টকাট মনে রাখার উপায়:
বৃত্তের কেন্দ্রে জায়গা বেশি থাকে তাই কোণ বড় হয় (দ্বিগুণ), আর পরিধিতে জায়গা কম বা দূরে থাকে তাই কোণ ছোট হয় (অর্ধেক)।
অর্থাৎ, কেন্দ্রস্থ কোণ = 2 × পরিধিস্থ কোণ
এবং পরিধিস্থ কোণ = ½ × কেন্দ্রস্থ কোণ
প্রমাণ করতে হবে যে, `∠BOC = 2∠BAC`
অঙ্কন: মনে করি, `AB` রেখাংশ কেন্দ্র `O` দিয়ে যায় না। এ ক্ষেত্রে `A` বিন্দু দিয়ে কেন্দ্রগামী রেখাংশ `AD` আঁকি।
প্রমাণ:
`ΔAOB`-এর বহিঃস্থ কোণ `∠BOD` = অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি
অর্থাৎ, `∠BOD = ∠BAO + ∠ABO`
ধাপ ১: `ΔAOB`-এ `OA = OB` [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে]
সুতরাং, `∠BAO = ∠ABO` [সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন কোণদ্বয় সমান]
অতএব, `∠BOD = ∠BAO + ∠BAO`
বা, `∠BOD = 2∠BAO` ........... (i)
ধাপ ২: একইভাবে `ΔAOC` থেকে প্রমাণ করা যায় যে,
`∠COD = 2∠CAO` ........... (ii)
ধাপ ৩: এখন (i) ও (ii) যোগ করে পাই,
`∠BOD + ∠COD = 2∠BAO + 2∠CAO`
বা, `∠BOC = 2(∠BAO + ∠CAO)`
বা, `∠BOC = 2∠BAC`
সুতরাং, একই চাপের ওপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
শর্টকাট মনে রাখার উপায়:
বৃত্তের কেন্দ্রে জায়গা বেশি থাকে তাই কোণ বড় হয় (দ্বিগুণ), আর পরিধিতে জায়গা কম বা দূরে থাকে তাই কোণ ছোট হয় (অর্ধেক)।
অর্থাৎ, কেন্দ্রস্থ কোণ = 2 × পরিধিস্থ কোণ
এবং পরিধিস্থ কোণ = ½ × কেন্দ্রস্থ কোণ
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
পরীক্ষা – ১১৩
কোর্স নামঃ
১৯ তম শিক্ষক নিবন্ধন - লেকচারশীট ভিত্তিক।
টপিকসঃ
গণিত
বৃত্ত ও ঘনবস্তু
বৃত্ত ও ঘনবস্তু
পরীক্ষা শুরুঃ ৩য় ব্যাচ শুরু ৫ নভেম্বর, ২০২৫।
রুটিন দেখুন
ব্যাচ-১/পরীক্ষা- ৫১
কোর্স নামঃ
সাধারণ জ্ঞান ৭০ মার্ক বেসিক ভিউ বই থেকে
টপিকসঃ
বাংলাদেশ বিষয়াবলি
বাংলাদেশের শিল্প ও বাণিজ্য: basic Terms of Trade, বাংলাদেশের অর্থনীতির সাথে জড়িত আন্তর্জাতিক সম্প্রদায়, বাণিজ্য মন্ত্রণালয়, আমদানি-রপ্তানি, BEZA, বিনিয়োগ তথ্য (পেইজ: ৭৯০-৮০২)
বাংলাদেশের শিল্প ও বাণিজ্য: basic Terms of Trade, বাংলাদেশের অর্থনীতির সাথে জড়িত আন্তর্জাতিক সম্প্রদায়, বাণিজ্য মন্ত্রণালয়, আমদানি-রপ্তানি, BEZA, বিনিয়োগ তথ্য (পেইজ: ৭৯০-৮০২)
৯০০ পেইজের সম্পূর্ণ বই শেষ করা হবে।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা – ৩৯
কোর্স নামঃ
প্রাইমারি প্রধান শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি (২য় ব্যাচ)
টপিকসঃ
বাংলা সাহিত্য সম্পূর্ণ সিলেবাস (১০০ মার্ক)
৫ ফেব্রুয়ারি থেকে শুরু।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা-২৫
কোর্স নামঃ
৫১ তম বিসিএস প্রস্ততি - ২৩৬ দিনে সম্পূর্ণ সিলিবাস।
টপিকসঃ
পরীক্ষা-২৩ ও পরীক্ষা-২৪ এর সিলেবাস থেকে (৫০টি প্রশ্ন)
১০ ফেব্রুয়ারি, ২০২৬
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions