কোন বৃত্তের কেন্দ্র থেকে কোন জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য অর্ধ-জ্যা অপেক্ষা ২ সে.মি. কম। বৃত্তের ব্যাসার্ধ ১০ সে.মি. হলে ঐ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত?
Solution
Correct Answer: Option B
মনে করি,
বৃত্তের কেন্দ্র $O$
জ্যা এর দৈর্ঘ্য $AB$
বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্ব $OD$
আমরা জানি, কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্ব ওই জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
সুতরাং, $AD = BD = \frac{1}{2}AB$
প্রশ্নমতে,
অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য অর্ধ-জ্যা অপেক্ষা ২ সে.মি. কম।
ধরি, অর্ধ-জ্যা, $AD = x$ সে.মি.
তাহলে, লম্বের দৈর্ঘ্য, $OD = (x - 2)$ সে.মি.
দেওয়া আছে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ $OA = 10$ সে.মি.
এখন, $\triangle OAD$ সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
$OA^2 = AD^2 + OD^2$
বা, $10^2 = x^2 + (x - 2)^2$
বা, $100 = x^2 + x^2 - 4x + 4$
বা, $100 = 2x^2 - 4x + 4$
বা, $2x^2 - 4x + 4 - 100 = 0$
বা, $2x^2 - 4x - 96 = 0$
বা, $2(x^2 - 2x - 48) = 0$
বা, $x^2 - 2x - 48 = 0$
বা, $x^2 - 8x + 6x - 48 = 0$ [মিডল টার্ম করে]
বা, $x(x - 8) + 6(x - 8) = 0$
বা, $(x - 8)(x + 6) = 0$
হয়, $x - 8 = 0$ $\Rightarrow$ $x = 8$
অথবা, $x + 6 = 0$ $\Rightarrow$ $x = -6$
কিন্তু দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $x = 8$ গ্রহণযোগ্য।
সুতরাং, অর্ধ-জ্যা $AD = 8$ সে.মি.
অতএব, জ্যা-এর দৈর্ঘ্য $AB = 2x = (2 \times 8) = 16$ সে.মি.
শর্টকাট টেকনিক (পরীক্ষার জন্য):
বৃত্ত ও জ্যা সংক্রান্ত পিথাগোরিয়ান ট্রিপলেট (Pythagorean Triplet) মনে রাখলে এই অঙ্কগুলো দ্রুত করা যায়।
এখানে অতিভুজ (ব্যাসার্ধ) = ১০।
আমরা জানি, (৬, ৮, ১০) একটি পিথাগোরিয়ান ট্রিপলেট। অর্থাৎ লম্ব ও ভূমির মান ৬ অথবা ৮ হবে।
প্রশ্নমতে, লম্ব ভূমি (অর্ধ-জ্যা) অপেক্ষা ২ কম।
যদি অর্ধ-জ্যা ৮ হয়, তবে লম্ব হবে ৬ (পার্থক্য ২, যা শর্ত পূরণ করে)।
সুতরাং, অর্ধ-জ্যা = ৮ সে.মি.
অতএব, পূর্ণ জ্যা = $৮ \times ২ = ১৬$ সে.মি.।
বৃত্তের কেন্দ্র $O$
জ্যা এর দৈর্ঘ্য $AB$
বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্ব $OD$
আমরা জানি, কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্ব ওই জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
সুতরাং, $AD = BD = \frac{1}{2}AB$
প্রশ্নমতে,
অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য অর্ধ-জ্যা অপেক্ষা ২ সে.মি. কম।
ধরি, অর্ধ-জ্যা, $AD = x$ সে.মি.
তাহলে, লম্বের দৈর্ঘ্য, $OD = (x - 2)$ সে.মি.
দেওয়া আছে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ $OA = 10$ সে.মি.
এখন, $\triangle OAD$ সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
$OA^2 = AD^2 + OD^2$
বা, $10^2 = x^2 + (x - 2)^2$
বা, $100 = x^2 + x^2 - 4x + 4$
বা, $100 = 2x^2 - 4x + 4$
বা, $2x^2 - 4x + 4 - 100 = 0$
বা, $2x^2 - 4x - 96 = 0$
বা, $2(x^2 - 2x - 48) = 0$
বা, $x^2 - 2x - 48 = 0$
বা, $x^2 - 8x + 6x - 48 = 0$ [মিডল টার্ম করে]
বা, $x(x - 8) + 6(x - 8) = 0$
বা, $(x - 8)(x + 6) = 0$
হয়, $x - 8 = 0$ $\Rightarrow$ $x = 8$
অথবা, $x + 6 = 0$ $\Rightarrow$ $x = -6$
কিন্তু দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $x = 8$ গ্রহণযোগ্য।
সুতরাং, অর্ধ-জ্যা $AD = 8$ সে.মি.
অতএব, জ্যা-এর দৈর্ঘ্য $AB = 2x = (2 \times 8) = 16$ সে.মি.
শর্টকাট টেকনিক (পরীক্ষার জন্য):
বৃত্ত ও জ্যা সংক্রান্ত পিথাগোরিয়ান ট্রিপলেট (Pythagorean Triplet) মনে রাখলে এই অঙ্কগুলো দ্রুত করা যায়।
এখানে অতিভুজ (ব্যাসার্ধ) = ১০।
আমরা জানি, (৬, ৮, ১০) একটি পিথাগোরিয়ান ট্রিপলেট। অর্থাৎ লম্ব ও ভূমির মান ৬ অথবা ৮ হবে।
প্রশ্নমতে, লম্ব ভূমি (অর্ধ-জ্যা) অপেক্ষা ২ কম।
যদি অর্ধ-জ্যা ৮ হয়, তবে লম্ব হবে ৬ (পার্থক্য ২, যা শর্ত পূরণ করে)।
সুতরাং, অর্ধ-জ্যা = ৮ সে.মি.
অতএব, পূর্ণ জ্যা = $৮ \times ২ = ১৬$ সে.মি.।
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
পরীক্ষা – ১১৩
কোর্স নামঃ
১৯ তম শিক্ষক নিবন্ধন - লেকচারশীট ভিত্তিক।
টপিকসঃ
গণিত
বৃত্ত ও ঘনবস্তু
বৃত্ত ও ঘনবস্তু
পরীক্ষা শুরুঃ ৩য় ব্যাচ শুরু ৫ নভেম্বর, ২০২৫।
রুটিন দেখুন
ব্যাচ-১/পরীক্ষা- ৫১
কোর্স নামঃ
সাধারণ জ্ঞান ৭০ মার্ক বেসিক ভিউ বই থেকে
টপিকসঃ
বাংলাদেশ বিষয়াবলি
বাংলাদেশের শিল্প ও বাণিজ্য: basic Terms of Trade, বাংলাদেশের অর্থনীতির সাথে জড়িত আন্তর্জাতিক সম্প্রদায়, বাণিজ্য মন্ত্রণালয়, আমদানি-রপ্তানি, BEZA, বিনিয়োগ তথ্য (পেইজ: ৭৯০-৮০২)
বাংলাদেশের শিল্প ও বাণিজ্য: basic Terms of Trade, বাংলাদেশের অর্থনীতির সাথে জড়িত আন্তর্জাতিক সম্প্রদায়, বাণিজ্য মন্ত্রণালয়, আমদানি-রপ্তানি, BEZA, বিনিয়োগ তথ্য (পেইজ: ৭৯০-৮০২)
৯০০ পেইজের সম্পূর্ণ বই শেষ করা হবে।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা – ৩৯
কোর্স নামঃ
প্রাইমারি প্রধান শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি (২য় ব্যাচ)
টপিকসঃ
বাংলা সাহিত্য সম্পূর্ণ সিলেবাস (১০০ মার্ক)
৫ ফেব্রুয়ারি থেকে শুরু।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা-২৫
কোর্স নামঃ
৫১ তম বিসিএস প্রস্ততি - ২৩৬ দিনে সম্পূর্ণ সিলিবাস।
টপিকসঃ
পরীক্ষা-২৩ ও পরীক্ষা-২৪ এর সিলেবাস থেকে (৫০টি প্রশ্ন)
১০ ফেব্রুয়ারি, ২০২৬
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions