পরস্পরকে স্পর্শ করেছে এমন তিনটি বৃত্তের কেন্দ্র P, Q, R এবং PQ = a, QR = b, RP = c, হলে, P কেন্দ্রিক বৃত্তের ব্যাস হবে--
Solution
Correct Answer: Option C
মনে করি, তিনটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে $r_1, r_2$ এবং $r_3$। বৃত্ত তিনটির কেন্দ্র যথাক্রমে $P, Q$ এবং $R$।
যেহেতু বৃত্ত তিনটি পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করেছে, তাই তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব হবে তাদের নিজ নিজ ব্যাসার্ধের যোগফলের সমান।
সুতরাং,
$P$ ও $Q$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধের যোগফল, $r_1 + r_2 = PQ = a$ ......(i)
$Q$ ও $R$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধের যোগফল, $r_2 + r_3 = QR = b$ ......(ii)
$R$ ও $P$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধের যোগফল, $r_3 + r_1 = RP = c$ ......(iii)
এখন, (i), (ii) ও (iii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
$r_1 + r_2 + r_2 + r_3 + r_3 + r_1 = a + b + c$
বা, $2r_1 + 2r_2 + 2r_3 = a + b + c$
বা, $2(r_1 + r_2 + r_3) = a + b + c$
বা, $r_1 + r_2 + r_3 = \frac{a + b + c}{2}$ ......(iv)
আমাদের $P$ কেন্দ্রিক বৃত্তের ব্যাস নির্ণয় করতে হবে। $P$ কেন্দ্রিক বৃত্তের ব্যাসার্ধ হলো $r_1$।
এখন, (iv) নং সমীকরণ থেকে (ii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,
$(r_1 + r_2 + r_3) - (r_2 + r_3) = \frac{a + b + c}{2} - b$
বা, $r_1 = \frac{a + b + c - 2b}{2}$
বা, $r_1 = \frac{a - b + c}{2}$
আমরা জানি, বৃত্তের ব্যাস = $2 \times$ ব্যাসার্ধ
সুতরাং, $P$ কেন্দ্রিক বৃত্তের ব্যাস = $2r_1$
= $2 \times \frac{a - b + c}{2}$
= $a - b + c$
অতএব, নির্ণেয় ব্যাস = a - b + c
শর্টকাট টেকনিক (MCQ বা পরীক্ষার হলের জন্য):
তিনটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ করলে যেকোনো একটি বৃত্তের ব্যাস বের করার নিয়ম হলো:
নির্ণেয় ব্যাস = (ওই বৃত্তের কেন্দ্র হতে অপর দুই কেন্দ্রের দূরত্বের যোগফল) - (অপর দুই কেন্দ্রের মধ্যবর্তী দূরত্ব)
এখানে $P$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাস চাওয়া হয়েছে।
$P$ থেকে অপর দুই কেন্দ্র $Q$ ও $R$ এর দূরত্ব হলো যথাক্রমে $PQ$ ও $RP$ (বা $a$ ও $c$)।
এবং অপর দুই কেন্দ্র $Q$ ও $R$ এর মাঝের দূরত্ব হলো $QR$ (বা $b$)।
সুতরাং,
$P$ বৃত্তের ব্যাস = $(PQ + RP) - QR$
= $(a + c) - b$
= a - b + c
যেহেতু বৃত্ত তিনটি পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করেছে, তাই তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব হবে তাদের নিজ নিজ ব্যাসার্ধের যোগফলের সমান।
সুতরাং,
$P$ ও $Q$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধের যোগফল, $r_1 + r_2 = PQ = a$ ......(i)
$Q$ ও $R$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধের যোগফল, $r_2 + r_3 = QR = b$ ......(ii)
$R$ ও $P$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধের যোগফল, $r_3 + r_1 = RP = c$ ......(iii)
এখন, (i), (ii) ও (iii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
$r_1 + r_2 + r_2 + r_3 + r_3 + r_1 = a + b + c$
বা, $2r_1 + 2r_2 + 2r_3 = a + b + c$
বা, $2(r_1 + r_2 + r_3) = a + b + c$
বা, $r_1 + r_2 + r_3 = \frac{a + b + c}{2}$ ......(iv)
আমাদের $P$ কেন্দ্রিক বৃত্তের ব্যাস নির্ণয় করতে হবে। $P$ কেন্দ্রিক বৃত্তের ব্যাসার্ধ হলো $r_1$।
এখন, (iv) নং সমীকরণ থেকে (ii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,
$(r_1 + r_2 + r_3) - (r_2 + r_3) = \frac{a + b + c}{2} - b$
বা, $r_1 = \frac{a + b + c - 2b}{2}$
বা, $r_1 = \frac{a - b + c}{2}$
আমরা জানি, বৃত্তের ব্যাস = $2 \times$ ব্যাসার্ধ
সুতরাং, $P$ কেন্দ্রিক বৃত্তের ব্যাস = $2r_1$
= $2 \times \frac{a - b + c}{2}$
= $a - b + c$
অতএব, নির্ণেয় ব্যাস = a - b + c
শর্টকাট টেকনিক (MCQ বা পরীক্ষার হলের জন্য):
তিনটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ করলে যেকোনো একটি বৃত্তের ব্যাস বের করার নিয়ম হলো:
নির্ণেয় ব্যাস = (ওই বৃত্তের কেন্দ্র হতে অপর দুই কেন্দ্রের দূরত্বের যোগফল) - (অপর দুই কেন্দ্রের মধ্যবর্তী দূরত্ব)
এখানে $P$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাস চাওয়া হয়েছে।
$P$ থেকে অপর দুই কেন্দ্র $Q$ ও $R$ এর দূরত্ব হলো যথাক্রমে $PQ$ ও $RP$ (বা $a$ ও $c$)।
এবং অপর দুই কেন্দ্র $Q$ ও $R$ এর মাঝের দূরত্ব হলো $QR$ (বা $b$)।
সুতরাং,
$P$ বৃত্তের ব্যাস = $(PQ + RP) - QR$
= $(a + c) - b$
= a - b + c
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
পরীক্ষা – ১১৩
কোর্স নামঃ
১৯ তম শিক্ষক নিবন্ধন - লেকচারশীট ভিত্তিক।
টপিকসঃ
গণিত
বৃত্ত ও ঘনবস্তু
বৃত্ত ও ঘনবস্তু
পরীক্ষা শুরুঃ ৩য় ব্যাচ শুরু ৫ নভেম্বর, ২০২৫।
রুটিন দেখুন
ব্যাচ-১/পরীক্ষা- ৫১
কোর্স নামঃ
সাধারণ জ্ঞান ৭০ মার্ক বেসিক ভিউ বই থেকে
টপিকসঃ
বাংলাদেশ বিষয়াবলি
বাংলাদেশের শিল্প ও বাণিজ্য: basic Terms of Trade, বাংলাদেশের অর্থনীতির সাথে জড়িত আন্তর্জাতিক সম্প্রদায়, বাণিজ্য মন্ত্রণালয়, আমদানি-রপ্তানি, BEZA, বিনিয়োগ তথ্য (পেইজ: ৭৯০-৮০২)
বাংলাদেশের শিল্প ও বাণিজ্য: basic Terms of Trade, বাংলাদেশের অর্থনীতির সাথে জড়িত আন্তর্জাতিক সম্প্রদায়, বাণিজ্য মন্ত্রণালয়, আমদানি-রপ্তানি, BEZA, বিনিয়োগ তথ্য (পেইজ: ৭৯০-৮০২)
৯০০ পেইজের সম্পূর্ণ বই শেষ করা হবে।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা – ৩৯
কোর্স নামঃ
প্রাইমারি প্রধান শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি (২য় ব্যাচ)
টপিকসঃ
বাংলা সাহিত্য সম্পূর্ণ সিলেবাস (১০০ মার্ক)
৫ ফেব্রুয়ারি থেকে শুরু।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা-২৫
কোর্স নামঃ
৫১ তম বিসিএস প্রস্ততি - ২৩৬ দিনে সম্পূর্ণ সিলিবাস।
টপিকসঃ
পরীক্ষা-২৩ ও পরীক্ষা-২৪ এর সিলেবাস থেকে (৫০টি প্রশ্ন)
১০ ফেব্রুয়ারি, ২০২৬
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions