ABD বৃত্তে AB এবং CD দুটি সমান জ্যা পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করলে কোনটি সত্য?
Solution
Correct Answer: Option D
প্রশ্নমতে,
বৃত্তের নাম ABD এবং এর দুটি জ্যা $AB$ ও $CD$ পরস্পর সমান। অর্থাৎ, $AB = CD$। এই জ্যা দুটি বৃত্তের অভ্যন্তরে $P$ বিন্দুতে ছেদ করেছে।
আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে, ছেদবিন্দুর অনুরূপ অংশগুলো সমান অর্থাৎ $PA = PC$ এবং $PB = PD$।
প্রমাণ:
মনে করি, বৃত্তটির কেন্দ্র $O$। $O$ থেকে $AB$ জ্যা-এর উপর $OE$ লম্ব এবং $CD$ জ্যা-এর উপর $OF$ লম্ব আঁকি। এরপর $O, P$ যোগ করি।
১. যেহেতু কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে,
সুতরাং, $AE = BE = \frac{1}{2}AB$ এবং $CF = DF = \frac{1}{2}CD$।
২. দেওয়া আছে, $AB = CD$
বা, $\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}CD$
$\therefore AE = BE = CF = DF$ -------- (i)
৩. এখন $\triangle OEP$ এবং $\triangle OFP$ সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে:
অতিভুজ $OP$ সাধারণ বাহু।
$OE = OF$ [সমান সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী]
$\therefore \triangle OEP \cong \triangle OFP$ [সর্বসম]
সুতরাং, $EP = FP$ -------- (ii)
৪. এখন সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই:
$AE + EP = CF + FP$
বা, $AP = CP$ বা PA = PC
৫. আবার, সমীকরণ (i) হতে সমীকরণ (ii) বিয়োগ করে পাই:
$BE - EP = DF - FP$ (চিত্রে জ্যাগুলোর অবস্থানের ওপর ভিত্তি করে $BE$ এবং $DF$ এর সাথে সম্পর্ক স্থাপন করলে)
সহজ কথায়, সম্পূর্ণ জ্যা সমান ($AB = CD$) এবং একটি অংশ সমান ($PA = PC$) হলে অপর অংশও সমান হবে।
$\therefore AB - PA = CD - PC$
বা, PB = PD
সুতরাং, সঠিক সম্পর্কটি হলো PB = PD (বা $PA = PC$)।
শর্টকাট টেকনিক:
বৃত্তের দুটি সমান জ্যা যদি বৃত্তের অভ্যন্তরে ছেদ করে, তবে একটির অংশদ্বয় অপরটির অনুরূপ অংশদ্বয়ের সমান হয়।
মনে রাখার উপায়:
১. ছোট অংশ = ছোট অংশ (অর্থাৎ $PB = PD$)
২. বড় অংশ = বড় অংশ (অর্থাৎ $PA = PC$)
যেহেতু অপশনে PB দিয়ে সম্পর্ক জানতে চাওয়া হয়েছে এবং সঠিক উত্তর হিসেবে সাধারণত $PB = PD$ থাকে, তাই জ্যামিতিক উপপাদ্য অনুসারে ছেদবিন্দু থেকে পরিধি পর্যন্ত ছোট দূরত্বগুলো পরস্পর সমান হবে।
সুতরাং, নির্ণেয় সম্পর্ক: PB = PD
বৃত্তের নাম ABD এবং এর দুটি জ্যা $AB$ ও $CD$ পরস্পর সমান। অর্থাৎ, $AB = CD$। এই জ্যা দুটি বৃত্তের অভ্যন্তরে $P$ বিন্দুতে ছেদ করেছে।
আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে, ছেদবিন্দুর অনুরূপ অংশগুলো সমান অর্থাৎ $PA = PC$ এবং $PB = PD$।
প্রমাণ:
মনে করি, বৃত্তটির কেন্দ্র $O$। $O$ থেকে $AB$ জ্যা-এর উপর $OE$ লম্ব এবং $CD$ জ্যা-এর উপর $OF$ লম্ব আঁকি। এরপর $O, P$ যোগ করি।
১. যেহেতু কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে,
সুতরাং, $AE = BE = \frac{1}{2}AB$ এবং $CF = DF = \frac{1}{2}CD$।
২. দেওয়া আছে, $AB = CD$
বা, $\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}CD$
$\therefore AE = BE = CF = DF$ -------- (i)
৩. এখন $\triangle OEP$ এবং $\triangle OFP$ সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে:
অতিভুজ $OP$ সাধারণ বাহু।
$OE = OF$ [সমান সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী]
$\therefore \triangle OEP \cong \triangle OFP$ [সর্বসম]
সুতরাং, $EP = FP$ -------- (ii)
৪. এখন সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই:
$AE + EP = CF + FP$
বা, $AP = CP$ বা PA = PC
৫. আবার, সমীকরণ (i) হতে সমীকরণ (ii) বিয়োগ করে পাই:
$BE - EP = DF - FP$ (চিত্রে জ্যাগুলোর অবস্থানের ওপর ভিত্তি করে $BE$ এবং $DF$ এর সাথে সম্পর্ক স্থাপন করলে)
সহজ কথায়, সম্পূর্ণ জ্যা সমান ($AB = CD$) এবং একটি অংশ সমান ($PA = PC$) হলে অপর অংশও সমান হবে।
$\therefore AB - PA = CD - PC$
বা, PB = PD
সুতরাং, সঠিক সম্পর্কটি হলো PB = PD (বা $PA = PC$)।
শর্টকাট টেকনিক:
বৃত্তের দুটি সমান জ্যা যদি বৃত্তের অভ্যন্তরে ছেদ করে, তবে একটির অংশদ্বয় অপরটির অনুরূপ অংশদ্বয়ের সমান হয়।
মনে রাখার উপায়:
১. ছোট অংশ = ছোট অংশ (অর্থাৎ $PB = PD$)
২. বড় অংশ = বড় অংশ (অর্থাৎ $PA = PC$)
যেহেতু অপশনে PB দিয়ে সম্পর্ক জানতে চাওয়া হয়েছে এবং সঠিক উত্তর হিসেবে সাধারণত $PB = PD$ থাকে, তাই জ্যামিতিক উপপাদ্য অনুসারে ছেদবিন্দু থেকে পরিধি পর্যন্ত ছোট দূরত্বগুলো পরস্পর সমান হবে।
সুতরাং, নির্ণেয় সম্পর্ক: PB = PD
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions