পরস্পরকে স্পর্শ করে আছে এমন তিনটি বৃত্তের কেন্দ্র P,Q,R এবং PQ=a, QR=b, RP=c হলে P কেন্দ্রিক বৃত্তের ব্যাস কত?
Solution
Correct Answer: Option B
ধরি, P, Q এবং R কেন্দ্রবিশিষ্ট তিনটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ করে আছে।
ধরি, P কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r_1$
Q কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r_2$
এবং R কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r_3$
যেহেতু, বৃত্তগুলো পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে, তাই তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব হবে তাদের ব্যাসার্ধদ্বয়ের যোগফলের সমান।
প্রশ্নমতে,
$PQ = a$
বা, $r_1 + r_2 = a$ ....... (i)
$QR = b$
বা, $r_2 + r_3 = b$ ....... (ii)
$RP = c$
বা, $r_3 + r_1 = c$ ....... (iii)
আমাদের P কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাস নির্ণয় করতে হবে। অর্থাৎ, আমাদের $2r_1$ এর মান বের করতে হবে।
এখন, (i) এবং (iii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
$(r_1 + r_2) + (r_3 + r_1) = a + c$
বা, $2r_1 + r_2 + r_3 = a + c$
বা, $2r_1 + (r_2 + r_3) = a + c$
এখন, (ii) নং সমীকরণ হতে $(r_2 + r_3) = b$ মানটি বসিয়ে পাই,
$2r_1 + b = a + c$
বা, $2r_1 = a + c - b$
বা, $2r_1 = c + a - b$
সুতরাং, P কেন্দ্রিক বৃত্তের ব্যাস ($2r_1$) হলো c+a-b।
শর্টকাট টেকনিক:
যেকোনো একটি বৃত্তের ব্যাস বের করতে হলে, ঐ বৃত্তের কেন্দ্র থেকে অন্য দুটি বৃত্তের কেন্দ্রের দূরত্ব যোগ করতে হবে এবং তা থেকে অন্য দুটি বৃত্তের মধ্যবর্তী দূরত্ব বিয়োগ করতে হবে।
সূত্র: নির্ণেয় বৃত্তের ব্যাস = (নিজ কেন্দ্র সংশ্লিষ্ট দুটি দূরত্বের যোগফল) - (বিপরীত বাহুর দৈর্ঘ্য)
এখানে P কেন্দ্রিক বৃত্তের ব্যাস চাওয়া হয়েছে।
P বিন্দুর সাথে যুক্ত বাহু হলো PQ (যার মান a) এবং RP (যার মান c)।
বিপরীত বাহু হলো QR (যার মান b)।
অতএব, ব্যাস = $(a + c) - b$ = $c + a - b$
ধরি, P কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r_1$
Q কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r_2$
এবং R কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r_3$
যেহেতু, বৃত্তগুলো পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে, তাই তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব হবে তাদের ব্যাসার্ধদ্বয়ের যোগফলের সমান।
প্রশ্নমতে,
$PQ = a$
বা, $r_1 + r_2 = a$ ....... (i)
$QR = b$
বা, $r_2 + r_3 = b$ ....... (ii)
$RP = c$
বা, $r_3 + r_1 = c$ ....... (iii)
আমাদের P কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাস নির্ণয় করতে হবে। অর্থাৎ, আমাদের $2r_1$ এর মান বের করতে হবে।
এখন, (i) এবং (iii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
$(r_1 + r_2) + (r_3 + r_1) = a + c$
বা, $2r_1 + r_2 + r_3 = a + c$
বা, $2r_1 + (r_2 + r_3) = a + c$
এখন, (ii) নং সমীকরণ হতে $(r_2 + r_3) = b$ মানটি বসিয়ে পাই,
$2r_1 + b = a + c$
বা, $2r_1 = a + c - b$
বা, $2r_1 = c + a - b$
সুতরাং, P কেন্দ্রিক বৃত্তের ব্যাস ($2r_1$) হলো c+a-b।
শর্টকাট টেকনিক:
যেকোনো একটি বৃত্তের ব্যাস বের করতে হলে, ঐ বৃত্তের কেন্দ্র থেকে অন্য দুটি বৃত্তের কেন্দ্রের দূরত্ব যোগ করতে হবে এবং তা থেকে অন্য দুটি বৃত্তের মধ্যবর্তী দূরত্ব বিয়োগ করতে হবে।
সূত্র: নির্ণেয় বৃত্তের ব্যাস = (নিজ কেন্দ্র সংশ্লিষ্ট দুটি দূরত্বের যোগফল) - (বিপরীত বাহুর দৈর্ঘ্য)
এখানে P কেন্দ্রিক বৃত্তের ব্যাস চাওয়া হয়েছে।
P বিন্দুর সাথে যুক্ত বাহু হলো PQ (যার মান a) এবং RP (যার মান c)।
বিপরীত বাহু হলো QR (যার মান b)।
অতএব, ব্যাস = $(a + c) - b$ = $c + a - b$
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions