ABD বৃত্তে AB এবং CD দুটি সমান জ্যা পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করলে কোনটি সত্য?
Solution
Correct Answer: Option D
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABD একটি বৃত্ত। AB এবং CD দুটি সমান জ্যা পরস্পর বৃত্তের অভ্যন্তরে P বিন্দুতে ছেদ করেছে।
আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে, তাদের অনুরূপ অংশগুলো পরস্পর সমান। অর্থাৎ, AP = CP এবং PB = PD।
অঙ্কন: O, P যোগ করি। কেন্দ্র O থেকে AB জ্যা-এর উপর OE এবং CD জ্যা-এর উপর OF লম্ব আঁকি।
প্রমাণ:
১. যেহেতু AB এবং CD জ্যা দুটি সমান এবং OE ⊥ AB ও OF ⊥ CD, সুতরাং কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী জ্যা-এর দূরত্ব সমান।
∴ OE = OF
২. এখন, △OEP এবং △OFP সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে:
অতিভুজ OP = অতিভুজ OP [সাধারণ বাহু]
এবং OE = OF [পূর্বে প্রমাণিত]
∴ △OEP ≅ △OFP [সর্বসমতার নিয়ম অনুসারে]
সুতরাং, EP = FP .......... (i)
৩. আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
∴ AE = EB = 1/2 AB এবং CF = FD = 1/2 CD
যেহেতু AB = CD,
সুতরাং, AE = EB = CF = FD .......... (ii)
৪. এখন, সমীকরণ (ii) থেকে পাই, EB = FD
বা, EB - EP = FD - FP [উভয় পক্ষ থেকে সমান অংশ বিয়োগ করি, কিন্তু এখানে লক্ষ্য করি চিত্রের জ্যামিতিক অবস্থানের ওপর ভিত্তি করে যোগ বা বিয়োগ হবে। সাধারণ ক্ষেত্রে P বিন্দুটি জ্যা-এর যে পাশে অবস্থিত সেই অনুযায়ী অংশগুলো সমান হয়।]
আসলে, জ্যামিতিক উপপাদ্য অনুসারে সরাসরি প্রমাণ হলো:
EB = AE এবং FD = CF
আবার (i) হতে পাই, EP = FP
এখন,
BP = EB + EP (যদি P কেন্দ্র O এর বিপরীত পাশে থাকে) অথবা BP = EB - EP।
জ্যামিতিক প্রমাণের সিদ্ধান্ত অনুযায়ী, দুটি সমান জ্যা পরস্পর ছেদ করলে তাদের এক অংশের দৈর্ঘ্য অপর জ্যা-এর অনুরূপ অংশের দৈর্ঘ্যের সমান হয়।
অর্থাৎ, AP = CP এবং PB = PD।
প্রশ্নের অপশনগুলোর মধ্যে PB = PD সম্পর্কটি সঠিক।
শর্টকাট টেকনিক:
বৃত্তের দুটি সমান জ্যা (Equal Chords) যদি পরস্পরকে ছেদ করে, তবে তাদের অনুরূপ খণ্ডাংশগুলো (Corresponding Segments) পরস্পর সমান হয়।
মনে রাখার উপায়:
১. বড় অংশটি অন্য জ্যা-এর বড় অংশের সমান হবে (AP = CP)।
২. ছোট অংশটি অন্য জ্যা-এর ছোট অংশের সমান হবে (PB = PD)।
যেহেতু অপশনে PB = PD আছে, তাই এটিই সঠিক উত্তর।
আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে, তাদের অনুরূপ অংশগুলো পরস্পর সমান। অর্থাৎ, AP = CP এবং PB = PD।
অঙ্কন: O, P যোগ করি। কেন্দ্র O থেকে AB জ্যা-এর উপর OE এবং CD জ্যা-এর উপর OF লম্ব আঁকি।
প্রমাণ:
১. যেহেতু AB এবং CD জ্যা দুটি সমান এবং OE ⊥ AB ও OF ⊥ CD, সুতরাং কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী জ্যা-এর দূরত্ব সমান।
∴ OE = OF
২. এখন, △OEP এবং △OFP সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে:
অতিভুজ OP = অতিভুজ OP [সাধারণ বাহু]
এবং OE = OF [পূর্বে প্রমাণিত]
∴ △OEP ≅ △OFP [সর্বসমতার নিয়ম অনুসারে]
সুতরাং, EP = FP .......... (i)
৩. আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
∴ AE = EB = 1/2 AB এবং CF = FD = 1/2 CD
যেহেতু AB = CD,
সুতরাং, AE = EB = CF = FD .......... (ii)
৪. এখন, সমীকরণ (ii) থেকে পাই, EB = FD
বা, EB - EP = FD - FP [উভয় পক্ষ থেকে সমান অংশ বিয়োগ করি, কিন্তু এখানে লক্ষ্য করি চিত্রের জ্যামিতিক অবস্থানের ওপর ভিত্তি করে যোগ বা বিয়োগ হবে। সাধারণ ক্ষেত্রে P বিন্দুটি জ্যা-এর যে পাশে অবস্থিত সেই অনুযায়ী অংশগুলো সমান হয়।]
আসলে, জ্যামিতিক উপপাদ্য অনুসারে সরাসরি প্রমাণ হলো:
EB = AE এবং FD = CF
আবার (i) হতে পাই, EP = FP
এখন,
BP = EB + EP (যদি P কেন্দ্র O এর বিপরীত পাশে থাকে) অথবা BP = EB - EP।
জ্যামিতিক প্রমাণের সিদ্ধান্ত অনুযায়ী, দুটি সমান জ্যা পরস্পর ছেদ করলে তাদের এক অংশের দৈর্ঘ্য অপর জ্যা-এর অনুরূপ অংশের দৈর্ঘ্যের সমান হয়।
অর্থাৎ, AP = CP এবং PB = PD।
প্রশ্নের অপশনগুলোর মধ্যে PB = PD সম্পর্কটি সঠিক।
শর্টকাট টেকনিক:
বৃত্তের দুটি সমান জ্যা (Equal Chords) যদি পরস্পরকে ছেদ করে, তবে তাদের অনুরূপ খণ্ডাংশগুলো (Corresponding Segments) পরস্পর সমান হয়।
মনে রাখার উপায়:
১. বড় অংশটি অন্য জ্যা-এর বড় অংশের সমান হবে (AP = CP)।
২. ছোট অংশটি অন্য জ্যা-এর ছোট অংশের সমান হবে (PB = PD)।
যেহেতু অপশনে PB = PD আছে, তাই এটিই সঠিক উত্তর।
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions