একটি ইফতার পার্টিতে কয়েকজন বন্ধু উপস্থিত হল। তারা প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে করমর্দন করল। যদি মোট ২৮ টি করমর্দন হয়ে থাকে তাহলে ঐ পার্টিতে মোট কতজন উপস্থিত ছিল?
Solution
Correct Answer: Option A
মূল নিয়ম:
মনে করি, ইফতার পার্টিতে উপস্থিত বন্ধুর সংখ্যা $n$ জন।
যেহেতু প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে একবার করে করমর্দন করে, তাই $n$ জন লোকের মধ্যে মোট করমর্দনের সংখ্যা হবে $n$ সংখ্যক ভিন্ন বস্তু থেকে প্রতিবার ২টি নিয়ে গঠিত সমাবেশ সংখ্যার সমান।
প্রশ্নমতে,
$^{n}C_{2} = 28$
বা, $\frac{n(n-1)}{2} = 28$ [সূত্র: $^{n}C_{2} = \frac{n(n-1)}{2 \times 1}$]
বা, $n(n-1) = 28 \times 2$ [আড়গুণন করে]
বা, $n^2 - n = 56$
বা, $n^2 - n - 56 = 0$
বা, $n^2 - 8n + 7n - 56 = 0$ [মিডল টার্ম ফ্যাক্টর করে]
বা, $n(n - 8) + 7(n - 8) = 0$
বা, $(n - 8)(n + 7) = 0$
হয়, $n - 8 = 0$ অথবা, $n + 7 = 0$
$\therefore n = 8$ $\therefore n = -7$
কিন্তু বন্ধুর সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না। তাই $n = -7$ গ্রহণযোগ্য নয়।
$\therefore$ নির্ণেয় বন্ধুর সংখ্যা ৮ জন।
বিকল্প পদ্ধতি (শর্টকাট):
মোট করমর্দন বা হ্যান্ডশেকের সংখ্যা দেওয়া থাকলে, সংখ্যাটিকে ২ দ্বারা গুণ করুন। এরপর গুণফলটিকে পরপর বা ক্রমিক দুটি সংখ্যার গুণফল আকারে প্রকাশ করুন। বড় সংখ্যাটিই হবে মোট লোকের সংখ্যা।
এখানে,
মোট হ্যান্ডশেক = ২৮
২৮ $\times$ ২ = ৫৬
এখন, ৫৬ কে ক্রমিক গুণফল আকারে লিখলে পাই, ৮ $\times$ ৭ = ৫৬।
এখানে বড় সংখ্যাটি হলো ৮।
সুতরাং, ঐ পার্টিতে মোট উপস্থিত ছিল ৮ জন।
মনে করি, ইফতার পার্টিতে উপস্থিত বন্ধুর সংখ্যা $n$ জন।
যেহেতু প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে একবার করে করমর্দন করে, তাই $n$ জন লোকের মধ্যে মোট করমর্দনের সংখ্যা হবে $n$ সংখ্যক ভিন্ন বস্তু থেকে প্রতিবার ২টি নিয়ে গঠিত সমাবেশ সংখ্যার সমান।
প্রশ্নমতে,
$^{n}C_{2} = 28$
বা, $\frac{n(n-1)}{2} = 28$ [সূত্র: $^{n}C_{2} = \frac{n(n-1)}{2 \times 1}$]
বা, $n(n-1) = 28 \times 2$ [আড়গুণন করে]
বা, $n^2 - n = 56$
বা, $n^2 - n - 56 = 0$
বা, $n^2 - 8n + 7n - 56 = 0$ [মিডল টার্ম ফ্যাক্টর করে]
বা, $n(n - 8) + 7(n - 8) = 0$
বা, $(n - 8)(n + 7) = 0$
হয়, $n - 8 = 0$ অথবা, $n + 7 = 0$
$\therefore n = 8$ $\therefore n = -7$
কিন্তু বন্ধুর সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না। তাই $n = -7$ গ্রহণযোগ্য নয়।
$\therefore$ নির্ণেয় বন্ধুর সংখ্যা ৮ জন।
বিকল্প পদ্ধতি (শর্টকাট):
মোট করমর্দন বা হ্যান্ডশেকের সংখ্যা দেওয়া থাকলে, সংখ্যাটিকে ২ দ্বারা গুণ করুন। এরপর গুণফলটিকে পরপর বা ক্রমিক দুটি সংখ্যার গুণফল আকারে প্রকাশ করুন। বড় সংখ্যাটিই হবে মোট লোকের সংখ্যা।
এখানে,
মোট হ্যান্ডশেক = ২৮
২৮ $\times$ ২ = ৫৬
এখন, ৫৬ কে ক্রমিক গুণফল আকারে লিখলে পাই, ৮ $\times$ ৭ = ৫৬।
এখানে বড় সংখ্যাটি হলো ৮।
সুতরাং, ঐ পার্টিতে মোট উপস্থিত ছিল ৮ জন।
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions