2+4+8+16+ . . . . . . . . ধারাটির n সংখ্যক পদের সমষ্টি 254 হলে n এর মান কত ?
Solution
Correct Answer: Option D
ধাপ ১: ধারাটি শনাক্তকরণ
প্রথমেই আমাদের দেখতে হবে এটি কোন ধরণের ধারা।
ধারার প্রথম পদ (a) = 2
দ্বিতীয় পদ = 4
তৃতীয় পদ = 8
এখানে, পরপর দুটি পদের অনুপাত পরীক্ষা করলে দেখা যায়:
দ্বিতীয় পদ / প্রথম পদ = 4 / 2 = 2
তৃতীয় পদ / দ্বিতীয় পদ = 8 / 4 = 2
যেহেতু পরপর দুটি পদের অনুপাত সমান, সেহেতু এটি একটি গুণোত্তর ধারা (Geometric Series)।
ধাপ ২: প্রয়োজনীয় তথ্য শনাক্তকরণ
ধারাটি থেকে আমরা পাই:
প্রথম পদ (a) = 2
সাধারণ অনুপাত (q) = 2
n সংখ্যক পদের সমষ্টি (Sₙ) = 254
পদের সংখ্যা (n) = ? (এটি আমাদের বের করতে হবে)
ধাপ ৩: সমষ্টি নির্ণয়ের সূত্র প্রয়োগ
গুণোত্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয়ের সূত্র হলো:
Sₙ = a(qⁿ - 1) / (q - 1)
ধাপ ৪: মান বসিয়ে n এর জন্য সমাধান
এখন, সূত্রে পরিচিত মানগুলো বসিয়ে পাই:
শর্তমতে, 254 = 2(2ⁿ - 1) / (2 - 1)
বা, 254 = 2(2ⁿ - 1) / 1
বা, 254 = 2(2ⁿ - 1)
সমীকরণের উভয় পক্ষকে 2 দিয়ে ভাগ করে পাই:
বা, 254 / 2 = 2ⁿ - 1
বা, 127 = 2ⁿ - 1
-1 কে বামপক্ষে নিয়ে আসি:
বা, 127 + 1 = 2ⁿ
বা, 128 = 2ⁿ
এখন আমাদের 128 কে 2 এর ঘাত (power) হিসেবে প্রকাশ করতে হবে।
128 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁷
সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:
বা, 2⁷ = 2ⁿ
যেহেতু উভয় পক্ষের ভিত্তি (base) সমান (2), সেহেতু তাদের ঘাতও (power) সমান হবে।
অতএব, n = 7
সুতরাং, ধারাটির 7টি পদের সমষ্টি 254 এবং n এর মান হলো 7।
প্রথমেই আমাদের দেখতে হবে এটি কোন ধরণের ধারা।
ধারার প্রথম পদ (a) = 2
দ্বিতীয় পদ = 4
তৃতীয় পদ = 8
এখানে, পরপর দুটি পদের অনুপাত পরীক্ষা করলে দেখা যায়:
দ্বিতীয় পদ / প্রথম পদ = 4 / 2 = 2
তৃতীয় পদ / দ্বিতীয় পদ = 8 / 4 = 2
যেহেতু পরপর দুটি পদের অনুপাত সমান, সেহেতু এটি একটি গুণোত্তর ধারা (Geometric Series)।
ধাপ ২: প্রয়োজনীয় তথ্য শনাক্তকরণ
ধারাটি থেকে আমরা পাই:
প্রথম পদ (a) = 2
সাধারণ অনুপাত (q) = 2
n সংখ্যক পদের সমষ্টি (Sₙ) = 254
পদের সংখ্যা (n) = ? (এটি আমাদের বের করতে হবে)
ধাপ ৩: সমষ্টি নির্ণয়ের সূত্র প্রয়োগ
গুণোত্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয়ের সূত্র হলো:
Sₙ = a(qⁿ - 1) / (q - 1)
ধাপ ৪: মান বসিয়ে n এর জন্য সমাধান
এখন, সূত্রে পরিচিত মানগুলো বসিয়ে পাই:
শর্তমতে, 254 = 2(2ⁿ - 1) / (2 - 1)
বা, 254 = 2(2ⁿ - 1) / 1
বা, 254 = 2(2ⁿ - 1)
সমীকরণের উভয় পক্ষকে 2 দিয়ে ভাগ করে পাই:
বা, 254 / 2 = 2ⁿ - 1
বা, 127 = 2ⁿ - 1
-1 কে বামপক্ষে নিয়ে আসি:
বা, 127 + 1 = 2ⁿ
বা, 128 = 2ⁿ
এখন আমাদের 128 কে 2 এর ঘাত (power) হিসেবে প্রকাশ করতে হবে।
128 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁷
সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:
বা, 2⁷ = 2ⁿ
যেহেতু উভয় পক্ষের ভিত্তি (base) সমান (2), সেহেতু তাদের ঘাতও (power) সমান হবে।
অতএব, n = 7
সুতরাং, ধারাটির 7টি পদের সমষ্টি 254 এবং n এর মান হলো 7।
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions