2+4+8+16+ . . . . . . . . ধারাটির n সংখ্যক পদের সমষ্টি 254 হলে n এর মান কত ?
Solution
Correct Answer: Option D
ধাপ ১: ধারাটি শনাক্তকরণ
প্রথমেই আমাদের দেখতে হবে এটি কোন ধরণের ধারা।
ধারার প্রথম পদ (a) = 2
দ্বিতীয় পদ = 4
তৃতীয় পদ = 8
এখানে, পরপর দুটি পদের অনুপাত পরীক্ষা করলে দেখা যায়:
দ্বিতীয় পদ / প্রথম পদ = 4 / 2 = 2
তৃতীয় পদ / দ্বিতীয় পদ = 8 / 4 = 2
যেহেতু পরপর দুটি পদের অনুপাত সমান, সেহেতু এটি একটি গুণোত্তর ধারা (Geometric Series)।
ধাপ ২: প্রয়োজনীয় তথ্য শনাক্তকরণ
ধারাটি থেকে আমরা পাই:
প্রথম পদ (a) = 2
সাধারণ অনুপাত (q) = 2
n সংখ্যক পদের সমষ্টি (Sₙ) = 254
পদের সংখ্যা (n) = ? (এটি আমাদের বের করতে হবে)
ধাপ ৩: সমষ্টি নির্ণয়ের সূত্র প্রয়োগ
গুণোত্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয়ের সূত্র হলো:
Sₙ = a(qⁿ - 1) / (q - 1)
ধাপ ৪: মান বসিয়ে n এর জন্য সমাধান
এখন, সূত্রে পরিচিত মানগুলো বসিয়ে পাই:
শর্তমতে, 254 = 2(2ⁿ - 1) / (2 - 1)
বা, 254 = 2(2ⁿ - 1) / 1
বা, 254 = 2(2ⁿ - 1)
সমীকরণের উভয় পক্ষকে 2 দিয়ে ভাগ করে পাই:
বা, 254 / 2 = 2ⁿ - 1
বা, 127 = 2ⁿ - 1
-1 কে বামপক্ষে নিয়ে আসি:
বা, 127 + 1 = 2ⁿ
বা, 128 = 2ⁿ
এখন আমাদের 128 কে 2 এর ঘাত (power) হিসেবে প্রকাশ করতে হবে।
128 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁷
সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:
বা, 2⁷ = 2ⁿ
যেহেতু উভয় পক্ষের ভিত্তি (base) সমান (2), সেহেতু তাদের ঘাতও (power) সমান হবে।
অতএব, n = 7
সুতরাং, ধারাটির 7টি পদের সমষ্টি 254 এবং n এর মান হলো 7।
প্রথমেই আমাদের দেখতে হবে এটি কোন ধরণের ধারা।
ধারার প্রথম পদ (a) = 2
দ্বিতীয় পদ = 4
তৃতীয় পদ = 8
এখানে, পরপর দুটি পদের অনুপাত পরীক্ষা করলে দেখা যায়:
দ্বিতীয় পদ / প্রথম পদ = 4 / 2 = 2
তৃতীয় পদ / দ্বিতীয় পদ = 8 / 4 = 2
যেহেতু পরপর দুটি পদের অনুপাত সমান, সেহেতু এটি একটি গুণোত্তর ধারা (Geometric Series)।
ধাপ ২: প্রয়োজনীয় তথ্য শনাক্তকরণ
ধারাটি থেকে আমরা পাই:
প্রথম পদ (a) = 2
সাধারণ অনুপাত (q) = 2
n সংখ্যক পদের সমষ্টি (Sₙ) = 254
পদের সংখ্যা (n) = ? (এটি আমাদের বের করতে হবে)
ধাপ ৩: সমষ্টি নির্ণয়ের সূত্র প্রয়োগ
গুণোত্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয়ের সূত্র হলো:
Sₙ = a(qⁿ - 1) / (q - 1)
ধাপ ৪: মান বসিয়ে n এর জন্য সমাধান
এখন, সূত্রে পরিচিত মানগুলো বসিয়ে পাই:
শর্তমতে, 254 = 2(2ⁿ - 1) / (2 - 1)
বা, 254 = 2(2ⁿ - 1) / 1
বা, 254 = 2(2ⁿ - 1)
সমীকরণের উভয় পক্ষকে 2 দিয়ে ভাগ করে পাই:
বা, 254 / 2 = 2ⁿ - 1
বা, 127 = 2ⁿ - 1
-1 কে বামপক্ষে নিয়ে আসি:
বা, 127 + 1 = 2ⁿ
বা, 128 = 2ⁿ
এখন আমাদের 128 কে 2 এর ঘাত (power) হিসেবে প্রকাশ করতে হবে।
128 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁷
সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:
বা, 2⁷ = 2ⁿ
যেহেতু উভয় পক্ষের ভিত্তি (base) সমান (2), সেহেতু তাদের ঘাতও (power) সমান হবে।
অতএব, n = 7
সুতরাং, ধারাটির 7টি পদের সমষ্টি 254 এবং n এর মান হলো 7।
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
পরীক্ষা – ১১২
কোর্স নামঃ
১৯ তম শিক্ষক নিবন্ধন - লেকচারশীট ভিত্তিক।
টপিকসঃ
সাধারণ জ্ঞান – বাংলাদেশ
বাংলাদেশের জাতিগোষ্ঠী ও উপজাতি সংক্রান্ত বিষয়াদি ষষ্ঠ জনশুমারি ও গৃহগণনা ২০২২। বাংলাদেশের খেলাধুলা বাংলাদেশের কৃষ্টি ও সংস্কৃতি বাংলার সংগীত
বাংলাদেশের জাতিগোষ্ঠী ও উপজাতি সংক্রান্ত বিষয়াদি ষষ্ঠ জনশুমারি ও গৃহগণনা ২০২২। বাংলাদেশের খেলাধুলা বাংলাদেশের কৃষ্টি ও সংস্কৃতি বাংলার সংগীত
পরীক্ষা শুরুঃ ৩য় ব্যাচ শুরু ৫ নভেম্বর, ২০২৫।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা – ৩৮
কোর্স নামঃ
প্রাইমারি প্রধান শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি (২য় ব্যাচ)
টপিকসঃ
বাংলা: বানান
ইংরেজি: Literary Terms
গণিত: স্থানাঙ্ক জ্যামিতি, সমস্যা সমাধান
সাধারণ জ্ঞান: শিল্প-বাণিজ্য
ইংরেজি: Literary Terms
গণিত: স্থানাঙ্ক জ্যামিতি, সমস্যা সমাধান
সাধারণ জ্ঞান: শিল্প-বাণিজ্য
৫ ফেব্রুয়ারি থেকে শুরু।
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions