If x is negative all but which of the following must also be negative?
Solution
Correct Answer: Option D
দেওয়া আছে, $x$ একটি ঋণাত্মক (negative) সংখ্যা।
আমাদের বের করতে হবে কোন রাশিটি ঋণাত্মক নয় (অর্থাৎ ধনাত্মক)।
অপশনগুলো যাচাই করি:
১) $x^3$:
যেহেতু $x$ ঋণাত্মক, ধরি $x = -1$
তাহলে, $x^3 = (-1) \times (-1) \times (-1) = -1$
ঋণাত্মক সংখ্যার বিজোড় ঘাত (odd power) সর্বদা ঋণাত্মক হয়।
$\therefore x^3$ ঋণাত্মক।
২) $1/x^3$:
আমরা জানি, $x^3$ একটি ঋণাত্মক সংখ্যা।
কোনো ধনাত্মক সংখ্যাকে (এখানে $1$) ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল সর্বদা ঋণাত্মক হয়।
$\therefore 1/x^3$ ঋণাত্মক।
৩) $1/x$:
যেহেতু $x$ ঋণাত্মক, তাই $1$ কে $x$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল ঋণাত্মক হবে।
যেমন: $1/(-2) = -0.5$
$\therefore 1/x$ ঋণাত্মক।
৪) $1/x^2$:
এখানে, $x^2 = x \times x$
ঋণাত্মক সংখ্যাকে ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে গুণফল ধনাত্মক হয়। [যেমন: $(-2) \times (-2) = +4$]
সুতরাং, $x^2$ সর্বদা ধনাত্মক।
এখন, $1$ কে একটি ধনাত্মক সংখ্যা ($x^2$) দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল অবশ্যই ধনাত্মক হবে।
$\therefore 1/x^2$ ঋণাত্মক নয়, বরং এটি ধনাত্মক।
প্রশ্নে জানতে চাওয়া হয়েছে "all but *which*... must also be negative", যার অর্থ কোনটি ঋণাত্মক নয়। যেহেতু $1/x^2$ ধনাত্মক, তাই এটিই সঠিক উত্তর।
সঠিক উত্তর: $1/x^2$
শর্টকাট টেকনিক:
যেকোনো ঋণাত্মক সংখ্যার পাওয়ার বা ঘাত যদি জোড় সংখ্যা (even number) হয় [যেমন: $2, 4, 6...$], তবে সেই সংখ্যাটি ধনাত্মক (positive) হয়ে যায়।
অপশনগুলোর মধ্যে একমাত্র $x^2$-এর পাওয়ার জোড় সংখ্যা। তাই $1/x^2$ অবশ্যই পজিটিভ হবে। বাকি সবগুলোর পাওয়ার বিজোড় ($1$ বা $3$), তাই সেগুলো নেগেটিভই থাকবে।
আমাদের বের করতে হবে কোন রাশিটি ঋণাত্মক নয় (অর্থাৎ ধনাত্মক)।
অপশনগুলো যাচাই করি:
১) $x^3$:
যেহেতু $x$ ঋণাত্মক, ধরি $x = -1$
তাহলে, $x^3 = (-1) \times (-1) \times (-1) = -1$
ঋণাত্মক সংখ্যার বিজোড় ঘাত (odd power) সর্বদা ঋণাত্মক হয়।
$\therefore x^3$ ঋণাত্মক।
২) $1/x^3$:
আমরা জানি, $x^3$ একটি ঋণাত্মক সংখ্যা।
কোনো ধনাত্মক সংখ্যাকে (এখানে $1$) ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল সর্বদা ঋণাত্মক হয়।
$\therefore 1/x^3$ ঋণাত্মক।
৩) $1/x$:
যেহেতু $x$ ঋণাত্মক, তাই $1$ কে $x$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল ঋণাত্মক হবে।
যেমন: $1/(-2) = -0.5$
$\therefore 1/x$ ঋণাত্মক।
৪) $1/x^2$:
এখানে, $x^2 = x \times x$
ঋণাত্মক সংখ্যাকে ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে গুণফল ধনাত্মক হয়। [যেমন: $(-2) \times (-2) = +4$]
সুতরাং, $x^2$ সর্বদা ধনাত্মক।
এখন, $1$ কে একটি ধনাত্মক সংখ্যা ($x^2$) দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল অবশ্যই ধনাত্মক হবে।
$\therefore 1/x^2$ ঋণাত্মক নয়, বরং এটি ধনাত্মক।
প্রশ্নে জানতে চাওয়া হয়েছে "all but *which*... must also be negative", যার অর্থ কোনটি ঋণাত্মক নয়। যেহেতু $1/x^2$ ধনাত্মক, তাই এটিই সঠিক উত্তর।
সঠিক উত্তর: $1/x^2$
শর্টকাট টেকনিক:
যেকোনো ঋণাত্মক সংখ্যার পাওয়ার বা ঘাত যদি জোড় সংখ্যা (even number) হয় [যেমন: $2, 4, 6...$], তবে সেই সংখ্যাটি ধনাত্মক (positive) হয়ে যায়।
অপশনগুলোর মধ্যে একমাত্র $x^2$-এর পাওয়ার জোড় সংখ্যা। তাই $1/x^2$ অবশ্যই পজিটিভ হবে। বাকি সবগুলোর পাওয়ার বিজোড় ($1$ বা $3$), তাই সেগুলো নেগেটিভই থাকবে।
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions