কোন প্রকৃত ভগ্নাংশের লবের সাথে 5 যোগ করলে এর মান 2 হয় । আবার, হর থেকে 1 বিয়োগ করলে এর মান 1 হয় । ভগ্নাংশটি নির্ণয় করুন ।

মনে করি,
প্রকৃত ভগ্নাংশটি \(\frac{x}{y}\) যেখানে লব \(x\) এবং হর \(y\) এবং প্রকৃত ভগ্নাংশ হওয়ায় \(x < y\)।

প্রশ্নানুসারে,
লবের সাথে 5 যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান 2 হয়।
\(\frac{x + 5}{y} = 2\)
বা, \(x + 5 = 2y\)
বা, \(x - 2y = -5\) ...... (i)

আবার, হর থেকে 1 বিয়োগ করলে ভগ্নাংশটির মান 1 হয়।
\(\frac{x}{y - 1} = 1\)
বা, \(x = y - 1\) ...... (ii)

এখন, (ii) এর মান (i) এ বসিয়ে পাই,
\((y - 1) - 2y = -5\)
বা, \(y - 1 - 2y = -5\)
বা, \(-y - 1 = -5\)
বা, \(-y = -5 + 1\)
বা, \(-y = -4\)
\(\therefore y = 4\)

এখন \(y\) এর মান (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, Let's
\(x = 4 - 1\)
\(\therefore x = 3\)
সুতরাং, নির্ণেয় প্রকৃত ভগ্নাংশটি \(\frac{3}{4}\)।

বিকল্প পদ্ধতি (শর্টকাট টেকনিক):
পরীক্ষার হলে দ্রুত সমাধানের জন্য অপশন টেস্ট (Option Test) করাই শ্রেয়।

ধাপ-১: অপশন ২ ও ৪ চিন্তা করি।
অপশন ২: \(\frac{3}{5}\)-এ লবের সাথে 5 যোগ করলে \(\frac{(3+5)}{5} = \frac{8}{5}\), যা 2 নয়।
অপশন ৩: \(\frac{4}{3}\) অপ্রকৃত ভগ্নাংশ, তাই এটি আগেই বাদ।
অপশন ৪: \(\frac{1}{3}\)-এ লবের সাথে 5 যোগ করলে \(\frac{(1+5)}{3} = \frac{6}{3} = 2\)। কিন্তু হরের সাথে 1 বিয়োগ করলে \(\frac{1}{(3-1)} = \frac{1}{2}\), যা 1 নয়।

ধাপ-২: অপশন ১ (\(\frac{3}{4}\)) চিন্তা করি।
১ম শর্ত: লবের সাথে 5 যোগ করলে \(\frac{(3+5)}{4} = \frac{8}{4} = 2\)। (শর্তটি মিলেছে)।
২য় শর্ত: হর থেকে 1 বিয়োগ করলে \(\frac{3}{(4-1)} = \frac{3}{3} = 1\)। (শর্তটি মিলেছে)।

সুতরাং, সঠিক উত্তর \(\frac{3}{4}\)।