A, B, D বৃত্তে AB এবং CD দুইটি সমান জ্যা পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করলে কোনটি সত্য হবে ?
Solution
Correct Answer: Option D
সাধারণ নির্বচন: বৃত্তে দুইটি সমান জ্যা পরস্পরকে ছেদ করলে তাদের একটির অংশদ্বয় অপরটির অনুরূপ অংশদ্বয়ের সমান হয়।
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AB এবং CD দুইটি সমান জ্যা পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করেছে।
আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে, AP = CP এবং PB = PD.
অংকন: O থেকে AB এবং CD জ্যা-এর ওপর যথাক্রমে OE এবং OF লম্ব আঁকি। O, P যোগ করি।
প্রমাণ:
১. যেহেতু OE $\perp$ AB এবং OF $\perp$ CD, সেহেতু $\triangle$OEP এবং $\triangle$OFP উভয়ই সমকোণী ত্রিভুজ।
এই দুইটি সমকোণী ত্রিভুজের মধ্যে:
অতিভুজ OP = অতিভুজ OP (সাধারণ বাহু)
OE = OF [বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমান সমান জ্যা সমদূরবর্তী]
$\therefore$ $\triangle$OEP $\cong$ $\triangle$OFP [সমকোণী ত্রিভুজের অত্রিভুজ-বাহু সর্বসমতা উপপাদ্য]
সুতরাং, EP = FP ........(i)
২. আবার, আমরা জানি বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব ওই জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
$\therefore$ AE = BE = $\frac{1}{2}$AB এবং CF = DF = $\frac{1}{2}$CD
দেওয়া আছে, AB = CD
$\therefore$ $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$CD
বা, BE = DF ........(ii)
৩. এখন, সমীকরণ (i) থেকে (ii) বিয়োগ করে পাই:
EP - BE = FP - DF [কিন্তু ছবিতে সাধারণ ছেদবিন্দুর অবস্থানের উপর নির্ভর করে এটি যোগ বা বিয়োগ হতে পারে। সাধারণত P বিন্দু জ্যা-এর ভেতরে থাকলে: BE + EP = BP হওয়ার কথা, কিন্তু জ্যামিতিক প্রমাণের সাধারণ নিয়ম অনুযায়ী ছোট অংশ দুটির সমানতা প্রমাণ করা হয়।]
সঠিক প্রমাণের ধাপ (সাধারণত পাঠ্যবই অনুযায়ী):
EP = FP (প্রমাণিত)
এবং BE = DF (যেহেতু সমান জ্যা-এর অর্ধেক সমান)
এখন, যদি জ্যা দুটি একে অপরকে অভ্যন্তরীণভাবে ছেদ করে, তবে জ্যা-এর বৃহত্তর অংশ এবং ক্ষুদ্রতর অংশ যথাক্রমে সমান হবে।
তাই, (ii) নং সমীকরণের সাথে (i) নং যোগ করে পাই (যদি P বিন্দু কেন্দ্রের বিপরীত দিকে থাকে) অথবা বিয়োগ করে পাই।
সহজ কথায়:
BE - EP = DF - FP
বা, PB = PD (প্রমাণিত)
একইভাবে দেখানো যায়, PA = PC.
সুতরাং, প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে PB = PD সঠিক।
শর্টকাট টেকনিক:
বৃত্তের জ্যামিতির একটি বিশেষ উপপাদ্য মনে রাখলেই এই উত্তরটি দ্রুত দেওয়া সম্ভব:
"বৃত্তের দুইটি সমান জ্যা পরস্পরকে ছেদ করলে, তাদের ছেদবিন্দু হতে একটি জ্যা-এর খণ্ডিতাংশদ্বয় অপর জ্যা-এর অনুরূপ খণ্ডিতাংশদ্বয়ের সমান হয়।"
অর্থাৎ, যদি AB = CD হয় এবং তারা P বিন্দুতে ছেদ করে তবে:
১. বড় অংশ $\approx$ বড় অংশ (PA = PC)
২. ছোট অংশ $\approx$ ছোট অংশ (PB = PD)
অপশনগুলোর দিকে তাকালে দেখা যায় শুধুমাত্র PB = PD সম্পর্কটি সঠিক।
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AB এবং CD দুইটি সমান জ্যা পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করেছে।
আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে, AP = CP এবং PB = PD.
অংকন: O থেকে AB এবং CD জ্যা-এর ওপর যথাক্রমে OE এবং OF লম্ব আঁকি। O, P যোগ করি।
প্রমাণ:
১. যেহেতু OE $\perp$ AB এবং OF $\perp$ CD, সেহেতু $\triangle$OEP এবং $\triangle$OFP উভয়ই সমকোণী ত্রিভুজ।
এই দুইটি সমকোণী ত্রিভুজের মধ্যে:
অতিভুজ OP = অতিভুজ OP (সাধারণ বাহু)
OE = OF [বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমান সমান জ্যা সমদূরবর্তী]
$\therefore$ $\triangle$OEP $\cong$ $\triangle$OFP [সমকোণী ত্রিভুজের অত্রিভুজ-বাহু সর্বসমতা উপপাদ্য]
সুতরাং, EP = FP ........(i)
২. আবার, আমরা জানি বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব ওই জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
$\therefore$ AE = BE = $\frac{1}{2}$AB এবং CF = DF = $\frac{1}{2}$CD
দেওয়া আছে, AB = CD
$\therefore$ $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$CD
বা, BE = DF ........(ii)
৩. এখন, সমীকরণ (i) থেকে (ii) বিয়োগ করে পাই:
EP - BE = FP - DF [কিন্তু ছবিতে সাধারণ ছেদবিন্দুর অবস্থানের উপর নির্ভর করে এটি যোগ বা বিয়োগ হতে পারে। সাধারণত P বিন্দু জ্যা-এর ভেতরে থাকলে: BE + EP = BP হওয়ার কথা, কিন্তু জ্যামিতিক প্রমাণের সাধারণ নিয়ম অনুযায়ী ছোট অংশ দুটির সমানতা প্রমাণ করা হয়।]
সঠিক প্রমাণের ধাপ (সাধারণত পাঠ্যবই অনুযায়ী):
EP = FP (প্রমাণিত)
এবং BE = DF (যেহেতু সমান জ্যা-এর অর্ধেক সমান)
এখন, যদি জ্যা দুটি একে অপরকে অভ্যন্তরীণভাবে ছেদ করে, তবে জ্যা-এর বৃহত্তর অংশ এবং ক্ষুদ্রতর অংশ যথাক্রমে সমান হবে।
তাই, (ii) নং সমীকরণের সাথে (i) নং যোগ করে পাই (যদি P বিন্দু কেন্দ্রের বিপরীত দিকে থাকে) অথবা বিয়োগ করে পাই।
সহজ কথায়:
BE - EP = DF - FP
বা, PB = PD (প্রমাণিত)
একইভাবে দেখানো যায়, PA = PC.
সুতরাং, প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে PB = PD সঠিক।
শর্টকাট টেকনিক:
বৃত্তের জ্যামিতির একটি বিশেষ উপপাদ্য মনে রাখলেই এই উত্তরটি দ্রুত দেওয়া সম্ভব:
"বৃত্তের দুইটি সমান জ্যা পরস্পরকে ছেদ করলে, তাদের ছেদবিন্দু হতে একটি জ্যা-এর খণ্ডিতাংশদ্বয় অপর জ্যা-এর অনুরূপ খণ্ডিতাংশদ্বয়ের সমান হয়।"
অর্থাৎ, যদি AB = CD হয় এবং তারা P বিন্দুতে ছেদ করে তবে:
১. বড় অংশ $\approx$ বড় অংশ (PA = PC)
২. ছোট অংশ $\approx$ ছোট অংশ (PB = PD)
অপশনগুলোর দিকে তাকালে দেখা যায় শুধুমাত্র PB = PD সম্পর্কটি সঠিক।
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions