A, B, D বৃত্তে AB এবং CD দুইটি সমান জ্যা পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করলে কোনটি সত্য হবে ?
Solution
Correct Answer: Option D
সাধারণ নির্বচন: বৃত্তে দুইটি সমান জ্যা পরস্পরকে ছেদ করলে তাদের একটির অংশদ্বয় অপরটির অনুরূপ অংশদ্বয়ের সমান হয়।
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AB এবং CD দুইটি সমান জ্যা পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করেছে।
আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে, AP = CP এবং PB = PD.
অংকন: O থেকে AB এবং CD জ্যা-এর ওপর যথাক্রমে OE এবং OF লম্ব আঁকি। O, P যোগ করি।
প্রমাণ:
১. যেহেতু OE $\perp$ AB এবং OF $\perp$ CD, সেহেতু $\triangle$OEP এবং $\triangle$OFP উভয়ই সমকোণী ত্রিভুজ।
এই দুইটি সমকোণী ত্রিভুজের মধ্যে:
অতিভুজ OP = অতিভুজ OP (সাধারণ বাহু)
OE = OF [বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমান সমান জ্যা সমদূরবর্তী]
$\therefore$ $\triangle$OEP $\cong$ $\triangle$OFP [সমকোণী ত্রিভুজের অত্রিভুজ-বাহু সর্বসমতা উপপাদ্য]
সুতরাং, EP = FP ........(i)
২. আবার, আমরা জানি বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব ওই জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
$\therefore$ AE = BE = $\frac{1}{2}$AB এবং CF = DF = $\frac{1}{2}$CD
দেওয়া আছে, AB = CD
$\therefore$ $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$CD
বা, BE = DF ........(ii)
৩. এখন, সমীকরণ (i) থেকে (ii) বিয়োগ করে পাই:
EP - BE = FP - DF [কিন্তু ছবিতে সাধারণ ছেদবিন্দুর অবস্থানের উপর নির্ভর করে এটি যোগ বা বিয়োগ হতে পারে। সাধারণত P বিন্দু জ্যা-এর ভেতরে থাকলে: BE + EP = BP হওয়ার কথা, কিন্তু জ্যামিতিক প্রমাণের সাধারণ নিয়ম অনুযায়ী ছোট অংশ দুটির সমানতা প্রমাণ করা হয়।]
সঠিক প্রমাণের ধাপ (সাধারণত পাঠ্যবই অনুযায়ী):
EP = FP (প্রমাণিত)
এবং BE = DF (যেহেতু সমান জ্যা-এর অর্ধেক সমান)
এখন, যদি জ্যা দুটি একে অপরকে অভ্যন্তরীণভাবে ছেদ করে, তবে জ্যা-এর বৃহত্তর অংশ এবং ক্ষুদ্রতর অংশ যথাক্রমে সমান হবে।
তাই, (ii) নং সমীকরণের সাথে (i) নং যোগ করে পাই (যদি P বিন্দু কেন্দ্রের বিপরীত দিকে থাকে) অথবা বিয়োগ করে পাই।
সহজ কথায়:
BE - EP = DF - FP
বা, PB = PD (প্রমাণিত)
একইভাবে দেখানো যায়, PA = PC.
সুতরাং, প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে PB = PD সঠিক।
শর্টকাট টেকনিক:
বৃত্তের জ্যামিতির একটি বিশেষ উপপাদ্য মনে রাখলেই এই উত্তরটি দ্রুত দেওয়া সম্ভব:
"বৃত্তের দুইটি সমান জ্যা পরস্পরকে ছেদ করলে, তাদের ছেদবিন্দু হতে একটি জ্যা-এর খণ্ডিতাংশদ্বয় অপর জ্যা-এর অনুরূপ খণ্ডিতাংশদ্বয়ের সমান হয়।"
অর্থাৎ, যদি AB = CD হয় এবং তারা P বিন্দুতে ছেদ করে তবে:
১. বড় অংশ $\approx$ বড় অংশ (PA = PC)
২. ছোট অংশ $\approx$ ছোট অংশ (PB = PD)
অপশনগুলোর দিকে তাকালে দেখা যায় শুধুমাত্র PB = PD সম্পর্কটি সঠিক।
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AB এবং CD দুইটি সমান জ্যা পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করেছে।
আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে, AP = CP এবং PB = PD.
অংকন: O থেকে AB এবং CD জ্যা-এর ওপর যথাক্রমে OE এবং OF লম্ব আঁকি। O, P যোগ করি।
প্রমাণ:
১. যেহেতু OE $\perp$ AB এবং OF $\perp$ CD, সেহেতু $\triangle$OEP এবং $\triangle$OFP উভয়ই সমকোণী ত্রিভুজ।
এই দুইটি সমকোণী ত্রিভুজের মধ্যে:
অতিভুজ OP = অতিভুজ OP (সাধারণ বাহু)
OE = OF [বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমান সমান জ্যা সমদূরবর্তী]
$\therefore$ $\triangle$OEP $\cong$ $\triangle$OFP [সমকোণী ত্রিভুজের অত্রিভুজ-বাহু সর্বসমতা উপপাদ্য]
সুতরাং, EP = FP ........(i)
২. আবার, আমরা জানি বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব ওই জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
$\therefore$ AE = BE = $\frac{1}{2}$AB এবং CF = DF = $\frac{1}{2}$CD
দেওয়া আছে, AB = CD
$\therefore$ $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$CD
বা, BE = DF ........(ii)
৩. এখন, সমীকরণ (i) থেকে (ii) বিয়োগ করে পাই:
EP - BE = FP - DF [কিন্তু ছবিতে সাধারণ ছেদবিন্দুর অবস্থানের উপর নির্ভর করে এটি যোগ বা বিয়োগ হতে পারে। সাধারণত P বিন্দু জ্যা-এর ভেতরে থাকলে: BE + EP = BP হওয়ার কথা, কিন্তু জ্যামিতিক প্রমাণের সাধারণ নিয়ম অনুযায়ী ছোট অংশ দুটির সমানতা প্রমাণ করা হয়।]
সঠিক প্রমাণের ধাপ (সাধারণত পাঠ্যবই অনুযায়ী):
EP = FP (প্রমাণিত)
এবং BE = DF (যেহেতু সমান জ্যা-এর অর্ধেক সমান)
এখন, যদি জ্যা দুটি একে অপরকে অভ্যন্তরীণভাবে ছেদ করে, তবে জ্যা-এর বৃহত্তর অংশ এবং ক্ষুদ্রতর অংশ যথাক্রমে সমান হবে।
তাই, (ii) নং সমীকরণের সাথে (i) নং যোগ করে পাই (যদি P বিন্দু কেন্দ্রের বিপরীত দিকে থাকে) অথবা বিয়োগ করে পাই।
সহজ কথায়:
BE - EP = DF - FP
বা, PB = PD (প্রমাণিত)
একইভাবে দেখানো যায়, PA = PC.
সুতরাং, প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে PB = PD সঠিক।
শর্টকাট টেকনিক:
বৃত্তের জ্যামিতির একটি বিশেষ উপপাদ্য মনে রাখলেই এই উত্তরটি দ্রুত দেওয়া সম্ভব:
"বৃত্তের দুইটি সমান জ্যা পরস্পরকে ছেদ করলে, তাদের ছেদবিন্দু হতে একটি জ্যা-এর খণ্ডিতাংশদ্বয় অপর জ্যা-এর অনুরূপ খণ্ডিতাংশদ্বয়ের সমান হয়।"
অর্থাৎ, যদি AB = CD হয় এবং তারা P বিন্দুতে ছেদ করে তবে:
১. বড় অংশ $\approx$ বড় অংশ (PA = PC)
২. ছোট অংশ $\approx$ ছোট অংশ (PB = PD)
অপশনগুলোর দিকে তাকালে দেখা যায় শুধুমাত্র PB = PD সম্পর্কটি সঠিক।
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
পরীক্ষা – ১১৩
কোর্স নামঃ
১৯ তম শিক্ষক নিবন্ধন - লেকচারশীট ভিত্তিক।
টপিকসঃ
গণিত
বৃত্ত ও ঘনবস্তু
বৃত্ত ও ঘনবস্তু
পরীক্ষা শুরুঃ ৩য় ব্যাচ শুরু ৫ নভেম্বর, ২০২৫।
রুটিন দেখুন
ব্যাচ-১/পরীক্ষা- ৫১
কোর্স নামঃ
সাধারণ জ্ঞান ৭০ মার্ক বেসিক ভিউ বই থেকে
টপিকসঃ
বাংলাদেশ বিষয়াবলি
বাংলাদেশের শিল্প ও বাণিজ্য: basic Terms of Trade, বাংলাদেশের অর্থনীতির সাথে জড়িত আন্তর্জাতিক সম্প্রদায়, বাণিজ্য মন্ত্রণালয়, আমদানি-রপ্তানি, BEZA, বিনিয়োগ তথ্য (পেইজ: ৭৯০-৮০২)
বাংলাদেশের শিল্প ও বাণিজ্য: basic Terms of Trade, বাংলাদেশের অর্থনীতির সাথে জড়িত আন্তর্জাতিক সম্প্রদায়, বাণিজ্য মন্ত্রণালয়, আমদানি-রপ্তানি, BEZA, বিনিয়োগ তথ্য (পেইজ: ৭৯০-৮০২)
৯০০ পেইজের সম্পূর্ণ বই শেষ করা হবে।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা – ৩৯
কোর্স নামঃ
প্রাইমারি প্রধান শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি (২য় ব্যাচ)
টপিকসঃ
বাংলা সাহিত্য সম্পূর্ণ সিলেবাস (১০০ মার্ক)
৫ ফেব্রুয়ারি থেকে শুরু।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা-২৫
কোর্স নামঃ
৫১ তম বিসিএস প্রস্ততি - ২৩৬ দিনে সম্পূর্ণ সিলিবাস।
টপিকসঃ
পরীক্ষা-২৩ ও পরীক্ষা-২৪ এর সিলেবাস থেকে (৫০টি প্রশ্ন)
১০ ফেব্রুয়ারি, ২০২৬
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions