log2 + log16 + log512 + ........... ধারাটির প্রথম বারটি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর ।

প্রদত্ত ধারাটি হলো: log2 + log16 + log512 + ...........

প্রথমে আমরা ধারাটির প্রতিটি পদকে log2 এর গুণিতক হিসেবে প্রকাশ করব।
১ম পদ = log2
২য় পদ = log16 = log(2⁴) = 4 log2
৩য় পদ = log512 = log(2⁹) = 9 log2

তাহলে, ধারাটি দাঁড়ায়:
log2 + 4 log2 + 9 log2 + ........
= 1² log2 + 2² log2 + 3² log2 + ........

এই ধারা থেকে log2 সাধারণ উৎপাদক (common factor) হিসেবে নিলে আমরা পাই:
= (1² + 2² + 3² + ........) log2

এটি মূলত স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টির ধারা। আমাদের ধারাটির প্রথম ১২টি পদের সমষ্টি নির্ণয় করতে হবে।

সুতরাং, নির্ণেয় সমষ্টি = (1² + 2² + 3² + ........ + 12²) log2

আমরা জানি, প্রথম 'n' সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টির সূত্র হলো:
Sum = n(n+1)(2n+1) / 6

এখানে, n = 12
সুতরাং, বর্গের সমষ্টি = 12 (12+1) (2×12+1) / 6
= 12 × 13 × (24+1) / 6
= 12 × 13 × 25 / 6
= 2 × 13 × 25
= 26 × 25
= 650

অতএব, ধারাটির প্রথম ১২টি পদের সমষ্টি হবে 650 log2।