১৬ বাহু বিশিষ্ট একটি বহুভুজের কৌণিক বিন্দুর সংযোগ রেখা দ্বারা কতগুলো ত্রিভুজ গঠন করা যায় ? এ বহুভুজের কতগুলো কর্ণ আছে ?
Solution
Correct Answer: Option B
আমরা জানি, একটি বহুভুজের কৌণিক বিন্দুর সংযোগ রেখা দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের সংখ্যা নির্ণয় করতে আমাদের তিনটি বিন্দু নির্বাচন করতে হবে। $n$ বাহু বিশিষ্ট বহুভুজের $n$ সংখ্যক শীর্ষবিন্দু থাকে। তাই, $n$ সংখ্যক বিন্দু থেকে ৩টি বিন্দু নিয়ে গঠিত সমাবেশ সংখ্যাই হবে ত্রিভুজের সংখ্যা।
আবার, $n$ বাহু বিশিষ্ট বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা নির্ণয়ের সূত্র হলো: ${}^nC_2 - n$।
এখানে, বহুভুজের বাহুর সংখ্যা, $n = 16$
১ম অংশ: ত্রিভুজ সংখ্যা নির্ণয়
১৬টি শীর্ষবিন্দু থেকে ৩টি বিন্দু নিয়ে গঠিত সমাবেশ সংখ্যা:
$= {}^{16}C_3$
$= \frac{16 \times 15 \times 14}{3 \times 2 \times 1}$
$= 16 \times 5 \times 7$ [কাটাকাটি করে]
$= 560$
সুতরাং, ত্রিভুজ গঠন করা যায় 560 টি।
২য় অংশ: কর্ণের সংখ্যা নির্ণয়
১৬টি শীর্ষবিন্দু থেকে ২টি বিন্দু যোগ করলে মোট রেখা পাওয়া যায় ${}^{16}C_2$ টি। এর মধ্যে ১৬টি হলো বহুভুজের বাহু। বাহুগুলো বাদে বাকি রেখাগুলোই হলো কর্ণ।
অতএব, কর্ণের সংখ্যা = ${}^{16}C_2 - 16$
$= \frac{16 \times 15}{2 \times 1} - 16$
$= (8 \times 15) - 16$
$= 120 - 16$
$= 104$
সুতরাং, বহুভুজটির কর্ণের সংখ্যা 104 টি।
এখানে প্রশ্নে দুইটি উত্তর চাওয়া হয়েছে (ত্রিভুজ সংখ্যা এবং কর্ণ সংখ্যা), কিন্তু অপশনে শুধুমাত্র একটি উত্তর (সম্ভবত কর্ণের সংখ্যা) দেওয়া আছে। সঠিক উত্তর: 104 (কর্ণের সংখ্যার ভিত্তিতে)।
শর্টকাট নিয়ম (পরীক্ষার হলের জন্য):
বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা বের করার সরাসরি সূত্র:
কর্ণের সংখ্যা = $\frac{n(n-3)}{2}$
এখানে, $n = 16$
সুতরাং, কর্ণ সংখ্যা
$= \frac{16(16-3)}{2}$
$= \frac{16 \times 13}{2}$
$= 8 \times 13$
$= 104$
আবার, $n$ বাহু বিশিষ্ট বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা নির্ণয়ের সূত্র হলো: ${}^nC_2 - n$।
এখানে, বহুভুজের বাহুর সংখ্যা, $n = 16$
১ম অংশ: ত্রিভুজ সংখ্যা নির্ণয়
১৬টি শীর্ষবিন্দু থেকে ৩টি বিন্দু নিয়ে গঠিত সমাবেশ সংখ্যা:
$= {}^{16}C_3$
$= \frac{16 \times 15 \times 14}{3 \times 2 \times 1}$
$= 16 \times 5 \times 7$ [কাটাকাটি করে]
$= 560$
সুতরাং, ত্রিভুজ গঠন করা যায় 560 টি।
২য় অংশ: কর্ণের সংখ্যা নির্ণয়
১৬টি শীর্ষবিন্দু থেকে ২টি বিন্দু যোগ করলে মোট রেখা পাওয়া যায় ${}^{16}C_2$ টি। এর মধ্যে ১৬টি হলো বহুভুজের বাহু। বাহুগুলো বাদে বাকি রেখাগুলোই হলো কর্ণ।
অতএব, কর্ণের সংখ্যা = ${}^{16}C_2 - 16$
$= \frac{16 \times 15}{2 \times 1} - 16$
$= (8 \times 15) - 16$
$= 120 - 16$
$= 104$
সুতরাং, বহুভুজটির কর্ণের সংখ্যা 104 টি।
এখানে প্রশ্নে দুইটি উত্তর চাওয়া হয়েছে (ত্রিভুজ সংখ্যা এবং কর্ণ সংখ্যা), কিন্তু অপশনে শুধুমাত্র একটি উত্তর (সম্ভবত কর্ণের সংখ্যা) দেওয়া আছে। সঠিক উত্তর: 104 (কর্ণের সংখ্যার ভিত্তিতে)।
শর্টকাট নিয়ম (পরীক্ষার হলের জন্য):
বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা বের করার সরাসরি সূত্র:
কর্ণের সংখ্যা = $\frac{n(n-3)}{2}$
এখানে, $n = 16$
সুতরাং, কর্ণ সংখ্যা
$= \frac{16(16-3)}{2}$
$= \frac{16 \times 13}{2}$
$= 8 \times 13$
$= 104$
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions