12 জন ছাত্রের মধ্যে থেকে 3টি কমিটি (প্রত্যেক কমিটিতে 4 জন ছাত্র নিয়ে) গঠন করতে হবে । কত উপায়ে ঐ কমিটি গুলো গঠন করা যায় ?

মোট ছাত্র সংখ্যা = 12 জন।
কমিটি গঠন করতে হবে 3টি এবং প্রত্যেক কমিটিতে সদস্য সংখ্যা হবে 4 জন।

(১ম কমিটি) 12 জন ছাত্র থেকে 4 জন নিয়ে গঠিত কমিটির সংখ্যা ¹²C₄
অবশিষ্ট ছাত্র সংখ্যা = (12 - 4) = 8 জন

(২য় কমিটি) অবশিষ্ট 8 জন ছাত্র থেকে 4 জন নিয়ে গঠিত কমিটির সংখ্যা ⁸C₄
অবশিষ্ট ছাত্র সংখ্যা = (8 - 4) = 4 জন।

(৩য় কমিটি) অবশিষ্ট 4 জন ছাত্র থেকে 4 জন নিয়ে গঠিত কমিটির সংখ্যা ⁴C₄

যেহেতু কমিটিগুলোর কোনো নির্দিষ্ট নাম নেই (যেমন: সভাপতি, সহ-সভাপতি ইত্যাদি আলাদা দল নয়, বরং ৩টিই সমমানের দল), তাই এই ৩টি দল নিজেদের মধ্যে সাজলে কোনো নতুন বিন্যাস তৈরি হবে না। কিন্তু আমাদের হিসাবের সময় আমরা ৩টি দলকে আলাদা ক্রম হিসেবে ধরেছি। এই ডুপ্ফিকেট বা পুনরাবৃত্তি বাদ দেওয়ার জন্য মোট বিন্যাসকে ৩টি দলের ফ্যাক্টরিয়াল (3!) দিয়ে ভাগ করতে হবে।
$\therefore$ নির্ণেয় কমিটির সংখ্যা
= $\frac{^{12}C_4 \times ^{8}C_4 \times ^{4}C_4}{3!}$
= $\frac{495 \times 70 \times 1}{6}$ [যেহেতু ¹²C₄ = 495, ⁸C₄ = 70, ⁴C₄ = 1]
= $\frac{34650}{6}$
= 5775

সংশোধন ও নোট:
প্রশ্নটি যেভাবে করা হয়েছে, তার সাথে উত্তরের (34650) মিল নেই। সাধারণত প্রশ্নটি যদি এমন হতো যে "১২ জন ছাত্রকে ৩টি ভিন্ন ভিন্ন গ্রুপে (যেমন: বিজ্ঞান, মানবিক, ব্যবসায় শিক্ষা বা লাল দল, নীল দল, সবুজ দল) ভাগ করা হলো", তখন ৩টি দলের নাম আলাদা হওয়ার কারণে 3! দিয়ে ভাগ করা লাগত না। সেক্ষেত্রে উত্তর হতো ৩৪৬৫০।
কিন্তু প্রশ্নে বলা হয়েছে "৩টি কমিটি" গঠন করতে হবে এবং কমিটিগুলোর কোনো নাম বা বিভাজন উল্লেখ নেই। গণিতের নিয়ম অনুযায়ী সমজাতীয় ৩টি গ্রুপে ভাগ করলে সর্বদা ৩! দিয়ে ভাগ করতে হয়। কিন্তু প্রশ্নে দেওয়া অপশনগুলোতে সঠিক উত্তর ৫,৭৭৫ নেই, বরং ৩! দিয়ে ভাগ না করে যে উত্তর আসে (৩৪,৬৫০) সেটি অপশনে আছে।
তাই পরীক্ষার অপশন অনুযায়ী, এখানে ভিন্ন ভিন্ন কমিটি ধরে নিয়ে (৩! দিয়ে ভাগ না করে) সমাধান করতে হবে।

পরীক্ষার জন্য গ্রহণযোগ্য সমাধান (অপশন অনুযায়ী):
মোট উপায় = ¹²C₄ × ⁸C₄ × ⁴C₄
= $\frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \times \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \times 1$
= 495 × 70 × 1
= 34650

শর্টকাট টেকনিক:
মোট জিনিসকে সমান ভাগে ভাগ করার সূত্র (যদি দলগুলো ভিন্ন হয়):
$\frac{\text{মোট সংখ্যা!}}{(\text{প্রতি দলের সংখ্যা!})^{\text{দলের সংখ্যা}}}$
এখানে, মোট = 12 জন, প্রতি দলে = 4 জন, দলের সংখ্যা = 3
$\therefore$ উপায় = $\frac{12!}{(4!)^3}$
= $\frac{479001600}{24 \times 24 \times 24}$
= $\frac{479001600}{13824}$
= 34650