১২ +৩২ +৫২ + ............ + ৩১২ সমান কত?
Solution
Correct Answer: Option B
প্রদত্ত ধারাটি হলো: ১২ + ৩২ + ৫২ + ............ + ৩১২
এটি বিজোড় সংখ্যাগুলোর বর্গের সমষ্টির একটি ধারা।
আমরা জানি, ১ থেকে n পর্যন্ত বিজোড় সংখ্যাগুলোর বর্গের সমষ্টি নির্ণয়ের সূত্র:
সমষ্টি = n(4n² - 1)⁄3
এখানে n হলো পদসংখ্যা।
ধারাটির শেষ পদ ৩১। আমাদের প্রথমে বের করতে হবে ৩১ কততম পদ।
বিজোড় সংখ্যার সাধারণ পদ = 2n - 1
প্রশ্নমতে,
2n - 1 = 31
বা, 2n = 31 + 1
বা, 2n = 32
বা, n = 16
সুতরাং, পদসংখ্যা (n) = 16
এখন, সূত্রে n এর মান বসিয়ে পাই,
সমষ্টি = 16 × (4 × 16² - 1)⁄3
= 16 × (4 × 256 - 1)⁄3
= 16 × (1024 - 1)⁄3
= 16 × 1023⁄3
= 16 × 341
= 5456
বিকল্প পদ্ধতি (সাধারণ সূত্র ব্যবহার করে):
বিজোড় সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = (১ থেকে ৩১ পর্যন্ত সকল সংখ্যার বর্গের সমষ্টি) - (২ থেকে ৩০ পর্যন্ত জোড় সংখ্যার বর্গের সমষ্টি)
১২ + ২২ + ৩২ + ... + ৩১২ = n(n+1)(2n+1)⁄6 সূত্র ব্যবহার করে পাই (n=31):
= 31 × 32 × 63⁄6 = 10416
জোড় সংখ্যাগুলোর বর্গ: ২২ + ৪২ + ... + ৩০২
= ২২(১২ + ২২ + ... + ১৫২)
= 4 × 15 × 16 × 31⁄6
= 4 × 1240 = 4960
সুতরাং, নির্ণেয় সমষ্টি = 10416 - 4960 = 5456
সতর্কতা: আপনার প্রদত্ত সঠিক উত্তরটি (10416) মূলত ১ থেকে ৩১ পর্যন্ত সকল স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টির উত্তরের সাথে মিলে যায় (যেমন: ১২+২২+৩২+...+৩১২)। কিন্তু প্রশ্নে শুধু বিজোড় সংখ্যার ধারা (১২+৩২+৫২...) দেওয়া আছে, যার সঠিক উত্তর হবে ৫৪৫৬। যেহেতু অপশনে ৫৪৫৬ নেই এবং সঠিক উত্তর ১০৪১৬ দেওয়া আছে, তাই প্রশ্নটি মূলত ১২ + ২২ + ৩২ + ...... + ৩১২ হবে বলে ধরে নেওয়া যায়।
১২ + ২২ + ৩২ + ...... + n২ ধারার সমষ্টি = n(n + 1)(2n + 1)⁄6
এখানে n = 31
∴ সমষ্টি = 31(31 + 1)(2 × 31 + 1)⁄6
= 31 × 32 × 63⁄6
= 31 × 16 × 21 [কাটাকাটি করে]
= 10416
এটি বিজোড় সংখ্যাগুলোর বর্গের সমষ্টির একটি ধারা।
আমরা জানি, ১ থেকে n পর্যন্ত বিজোড় সংখ্যাগুলোর বর্গের সমষ্টি নির্ণয়ের সূত্র:
সমষ্টি = n(4n² - 1)⁄3
এখানে n হলো পদসংখ্যা।
ধারাটির শেষ পদ ৩১। আমাদের প্রথমে বের করতে হবে ৩১ কততম পদ।
বিজোড় সংখ্যার সাধারণ পদ = 2n - 1
প্রশ্নমতে,
2n - 1 = 31
বা, 2n = 31 + 1
বা, 2n = 32
বা, n = 16
সুতরাং, পদসংখ্যা (n) = 16
এখন, সূত্রে n এর মান বসিয়ে পাই,
সমষ্টি = 16 × (4 × 16² - 1)⁄3
= 16 × (4 × 256 - 1)⁄3
= 16 × (1024 - 1)⁄3
= 16 × 1023⁄3
= 16 × 341
= 5456
বিকল্প পদ্ধতি (সাধারণ সূত্র ব্যবহার করে):
বিজোড় সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = (১ থেকে ৩১ পর্যন্ত সকল সংখ্যার বর্গের সমষ্টি) - (২ থেকে ৩০ পর্যন্ত জোড় সংখ্যার বর্গের সমষ্টি)
১২ + ২২ + ৩২ + ... + ৩১২ = n(n+1)(2n+1)⁄6 সূত্র ব্যবহার করে পাই (n=31):
= 31 × 32 × 63⁄6 = 10416
জোড় সংখ্যাগুলোর বর্গ: ২২ + ৪২ + ... + ৩০২
= ২২(১২ + ২২ + ... + ১৫২)
= 4 × 15 × 16 × 31⁄6
= 4 × 1240 = 4960
সুতরাং, নির্ণেয় সমষ্টি = 10416 - 4960 = 5456
সতর্কতা: আপনার প্রদত্ত সঠিক উত্তরটি (10416) মূলত ১ থেকে ৩১ পর্যন্ত সকল স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টির উত্তরের সাথে মিলে যায় (যেমন: ১২+২২+৩২+...+৩১২)। কিন্তু প্রশ্নে শুধু বিজোড় সংখ্যার ধারা (১২+৩২+৫২...) দেওয়া আছে, যার সঠিক উত্তর হবে ৫৪৫৬। যেহেতু অপশনে ৫৪৫৬ নেই এবং সঠিক উত্তর ১০৪১৬ দেওয়া আছে, তাই প্রশ্নটি মূলত ১২ + ২২ + ৩২ + ...... + ৩১২ হবে বলে ধরে নেওয়া যায়।
১২ + ২২ + ৩২ + ...... + n২ ধারার সমষ্টি = n(n + 1)(2n + 1)⁄6
এখানে n = 31
∴ সমষ্টি = 31(31 + 1)(2 × 31 + 1)⁄6
= 31 × 32 × 63⁄6
= 31 × 16 × 21 [কাটাকাটি করে]
= 10416
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
পরীক্ষা-১৫৩
কোর্স নামঃ
৫১ তম বিসিএস প্রস্ততি - ২৩৬ দিনে সম্পূর্ণ সিলিবাস।
টপিকসঃ
ইংরেজি সাহিত্য
The Modern Period & Post Modern Period.
Important Writers: Bertrand Russell, David Herbert Lawrence, Edward Morgan Forster, George Bernard Shaw, George Orwell, James Joyce, Rudyard Kipling, Samuel Beckett, Thomas Stearns Eliot, Virginia Woolf, William Butler Yeats
Other Writers: William Gerald Golding, Winston Churchill, Dylan Thomas, John Masefield, Joseph Conrad, John Millington Synge, Aldous Huxley, Graham Greene, H.G. Wells, Harold Pinter, J.K. Rowling
নোটঃ মূল লেখকদের জীবনী, সাহিত্যকর্ম, অবদান ও স্বীকৃতি বিস্তারিতভাবে এবং অন্যান্য লেখকদের শুধু গুরুত্বপূর্ণ অবদান ও সাহিত্যকর্মের মূল অংশটুকু পড়ুন।
The Modern Period & Post Modern Period.
Important Writers: Bertrand Russell, David Herbert Lawrence, Edward Morgan Forster, George Bernard Shaw, George Orwell, James Joyce, Rudyard Kipling, Samuel Beckett, Thomas Stearns Eliot, Virginia Woolf, William Butler Yeats
Other Writers: William Gerald Golding, Winston Churchill, Dylan Thomas, John Masefield, Joseph Conrad, John Millington Synge, Aldous Huxley, Graham Greene, H.G. Wells, Harold Pinter, J.K. Rowling
নোটঃ মূল লেখকদের জীবনী, সাহিত্যকর্ম, অবদান ও স্বীকৃতি বিস্তারিতভাবে এবং অন্যান্য লেখকদের শুধু গুরুত্বপূর্ণ অবদান ও সাহিত্যকর্মের মূল অংশটুকু পড়ুন।
১০ ফেব্রুয়ারি, ২০২৬
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা – ২৫
কোর্স নামঃ
প্রাইমারি প্রধান শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি (৩য় ব্যাচ)
টপিকসঃ
বাংলা: তারাশঙ্কর বন্দ্যোপাধ্যায়, শহীদুল্লা কায়সার, ড. মুহম্মদ শহীদুল্লাহ, হুমায়ূন আহমেদ, আহমদ ছফা
ইংরেজি: Important Writers of the Modern Ages
গণিত: সম্ভাব্যতা
সাধারণ জ্ঞান: বাংলাদেশের অর্থনীতি, শিল্প-বাণিজ্য
ইংরেজি: Important Writers of the Modern Ages
গণিত: সম্ভাব্যতা
সাধারণ জ্ঞান: বাংলাদেশের অর্থনীতি, শিল্প-বাণিজ্য
১০ জুলাই, ২০২৬ থেকে শুরু।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা – ১০
কোর্স নামঃ
১৯ তম শিক্ষক নিবন্ধন - লেকচারশীট ভিত্তিক।
টপিকসঃ
বাংলা ব্যকরণ:
যুক্তাক্ষর বিশ্লেষণ, বাংলা ণ-ত্ব বিধান ও ষ-ত্ব বিধান
যুক্তাক্ষর বিশ্লেষণ, বাংলা ণ-ত্ব বিধান ও ষ-ত্ব বিধান
(৬ষ্ঠ ব্যাচ) পরীক্ষা শুরুঃ ১০ সেপ্টেম্বর, ২০২৬।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা - ১৫
কোর্স নামঃ
১৯তম শিক্ষক নিবন্ধন প্রস্তুতি - সমাজবিজ্ঞান
টপিকসঃ
সামাজিক পরিবর্তন ও আধুনিকায়ন:
পরিবর্তনের সংজ্ঞা, উৎস, উন্নয়ন ও আধুনিকায়ন, পরিবর্তনের প্রকারভেদ এবং সামাজিক পরিবর্তনের তত্ত্বসমূহ (সরলরেখীয় ও জীব-চক্রাকার তত্ত্ব)।
পরিবর্তনের সংজ্ঞা, উৎস, উন্নয়ন ও আধুনিকায়ন, পরিবর্তনের প্রকারভেদ এবং সামাজিক পরিবর্তনের তত্ত্বসমূহ (সরলরেখীয় ও জীব-চক্রাকার তত্ত্ব)।
পরীক্ষা শুরুঃ ২৬ জুলাই, ২০২৬
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions