১২ +৩২ +৫২ + ............ + ৩১২ সমান কত?
Solution
Correct Answer: Option B
প্রদত্ত ধারাটি হলো: ১২ + ৩২ + ৫২ + ............ + ৩১২
এটি বিজোড় সংখ্যাগুলোর বর্গের সমষ্টির একটি ধারা।
আমরা জানি, ১ থেকে n পর্যন্ত বিজোড় সংখ্যাগুলোর বর্গের সমষ্টি নির্ণয়ের সূত্র:
সমষ্টি = n(4n² - 1)⁄3
এখানে n হলো পদসংখ্যা।
ধারাটির শেষ পদ ৩১। আমাদের প্রথমে বের করতে হবে ৩১ কততম পদ।
বিজোড় সংখ্যার সাধারণ পদ = 2n - 1
প্রশ্নমতে,
2n - 1 = 31
বা, 2n = 31 + 1
বা, 2n = 32
বা, n = 16
সুতরাং, পদসংখ্যা (n) = 16
এখন, সূত্রে n এর মান বসিয়ে পাই,
সমষ্টি = 16 × (4 × 16² - 1)⁄3
= 16 × (4 × 256 - 1)⁄3
= 16 × (1024 - 1)⁄3
= 16 × 1023⁄3
= 16 × 341
= 5456
বিকল্প পদ্ধতি (সাধারণ সূত্র ব্যবহার করে):
বিজোড় সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = (১ থেকে ৩১ পর্যন্ত সকল সংখ্যার বর্গের সমষ্টি) - (২ থেকে ৩০ পর্যন্ত জোড় সংখ্যার বর্গের সমষ্টি)
১২ + ২২ + ৩২ + ... + ৩১২ = n(n+1)(2n+1)⁄6 সূত্র ব্যবহার করে পাই (n=31):
= 31 × 32 × 63⁄6 = 10416
জোড় সংখ্যাগুলোর বর্গ: ২২ + ৪২ + ... + ৩০২
= ২২(১২ + ২২ + ... + ১৫২)
= 4 × 15 × 16 × 31⁄6
= 4 × 1240 = 4960
সুতরাং, নির্ণেয় সমষ্টি = 10416 - 4960 = 5456
সতর্কতা: আপনার প্রদত্ত সঠিক উত্তরটি (10416) মূলত ১ থেকে ৩১ পর্যন্ত সকল স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টির উত্তরের সাথে মিলে যায় (যেমন: ১২+২২+৩২+...+৩১২)। কিন্তু প্রশ্নে শুধু বিজোড় সংখ্যার ধারা (১২+৩২+৫২...) দেওয়া আছে, যার সঠিক উত্তর হবে ৫৪৫৬। যেহেতু অপশনে ৫৪৫৬ নেই এবং সঠিক উত্তর ১০৪১৬ দেওয়া আছে, তাই প্রশ্নটি মূলত ১২ + ২২ + ৩২ + ...... + ৩১২ হবে বলে ধরে নেওয়া যায়।
১২ + ২২ + ৩২ + ...... + n২ ধারার সমষ্টি = n(n + 1)(2n + 1)⁄6
এখানে n = 31
∴ সমষ্টি = 31(31 + 1)(2 × 31 + 1)⁄6
= 31 × 32 × 63⁄6
= 31 × 16 × 21 [কাটাকাটি করে]
= 10416
এটি বিজোড় সংখ্যাগুলোর বর্গের সমষ্টির একটি ধারা।
আমরা জানি, ১ থেকে n পর্যন্ত বিজোড় সংখ্যাগুলোর বর্গের সমষ্টি নির্ণয়ের সূত্র:
সমষ্টি = n(4n² - 1)⁄3
এখানে n হলো পদসংখ্যা।
ধারাটির শেষ পদ ৩১। আমাদের প্রথমে বের করতে হবে ৩১ কততম পদ।
বিজোড় সংখ্যার সাধারণ পদ = 2n - 1
প্রশ্নমতে,
2n - 1 = 31
বা, 2n = 31 + 1
বা, 2n = 32
বা, n = 16
সুতরাং, পদসংখ্যা (n) = 16
এখন, সূত্রে n এর মান বসিয়ে পাই,
সমষ্টি = 16 × (4 × 16² - 1)⁄3
= 16 × (4 × 256 - 1)⁄3
= 16 × (1024 - 1)⁄3
= 16 × 1023⁄3
= 16 × 341
= 5456
বিকল্প পদ্ধতি (সাধারণ সূত্র ব্যবহার করে):
বিজোড় সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = (১ থেকে ৩১ পর্যন্ত সকল সংখ্যার বর্গের সমষ্টি) - (২ থেকে ৩০ পর্যন্ত জোড় সংখ্যার বর্গের সমষ্টি)
১২ + ২২ + ৩২ + ... + ৩১২ = n(n+1)(2n+1)⁄6 সূত্র ব্যবহার করে পাই (n=31):
= 31 × 32 × 63⁄6 = 10416
জোড় সংখ্যাগুলোর বর্গ: ২২ + ৪২ + ... + ৩০২
= ২২(১২ + ২২ + ... + ১৫২)
= 4 × 15 × 16 × 31⁄6
= 4 × 1240 = 4960
সুতরাং, নির্ণেয় সমষ্টি = 10416 - 4960 = 5456
সতর্কতা: আপনার প্রদত্ত সঠিক উত্তরটি (10416) মূলত ১ থেকে ৩১ পর্যন্ত সকল স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টির উত্তরের সাথে মিলে যায় (যেমন: ১২+২২+৩২+...+৩১২)। কিন্তু প্রশ্নে শুধু বিজোড় সংখ্যার ধারা (১২+৩২+৫২...) দেওয়া আছে, যার সঠিক উত্তর হবে ৫৪৫৬। যেহেতু অপশনে ৫৪৫৬ নেই এবং সঠিক উত্তর ১০৪১৬ দেওয়া আছে, তাই প্রশ্নটি মূলত ১২ + ২২ + ৩২ + ...... + ৩১২ হবে বলে ধরে নেওয়া যায়।
১২ + ২২ + ৩২ + ...... + n২ ধারার সমষ্টি = n(n + 1)(2n + 1)⁄6
এখানে n = 31
∴ সমষ্টি = 31(31 + 1)(2 × 31 + 1)⁄6
= 31 × 32 × 63⁄6
= 31 × 16 × 21 [কাটাকাটি করে]
= 10416
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
পরীক্ষা – ৭৯
কোর্স নামঃ
প্রাইমারি প্রধান শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি (২য় ব্যাচ)
টপিকসঃ
আন্তর্জাতিক বিষয়াবলী সম্পূর্ণ সিলেবাস (১০০ মার্ক)
৫ ফেব্রুয়ারি থেকে শুরু।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা-৫৪
কোর্স নামঃ
৫১ তম বিসিএস প্রস্ততি - ২৩৬ দিনে সম্পূর্ণ সিলিবাস।
টপিকসঃ
বাংলা সাহিত্য
খুব গুরুত্বপূর্ণঃ কাজী নজরুল ইসলাম।
গুরুত্বপূর্ণঃ মানিক বন্দ্যোপাধ্যায়, এস. ওয়াজেদ আলি, কায়কোবাদ, কাজী ইমদাদুল হক, কাজী আবদুল ওদুদ, জহির রায়হান, জাহানারা ইমাম, দ্বিজেন্দ্রলাল রায়, নির্মলেন্দু গুণ, নুরুল মোমেন, প্যারীচাঁদ মিত্র,।
কম গুরুত্বপূর্ণঃ আবুল হাসান, আসাদ চৌধুরী, আরজ আলী মাতুব্বর, আশরাফ সিদ্দিকী, আহমদ ছফা, ড. আহমদ শরীফ, আহসান হাবীব, আহমদ রফিক, ইব্রাহীম খাঁ, ঈশ্বরচন্দ্র গুপ্ত, উইলিয়াম কেরি, এম. আর. আখতার মুকুল, কাঙাল হরিনাথ, কাজী মোতাহার হোসেন, কামিনী রায়, কালিদাস রায়, কালীপ্রসন্ন ঘোষ, কালীপ্রসন্ন।
খুব গুরুত্বপূর্ণঃ কাজী নজরুল ইসলাম।
গুরুত্বপূর্ণঃ মানিক বন্দ্যোপাধ্যায়, এস. ওয়াজেদ আলি, কায়কোবাদ, কাজী ইমদাদুল হক, কাজী আবদুল ওদুদ, জহির রায়হান, জাহানারা ইমাম, দ্বিজেন্দ্রলাল রায়, নির্মলেন্দু গুণ, নুরুল মোমেন, প্যারীচাঁদ মিত্র,।
কম গুরুত্বপূর্ণঃ আবুল হাসান, আসাদ চৌধুরী, আরজ আলী মাতুব্বর, আশরাফ সিদ্দিকী, আহমদ ছফা, ড. আহমদ শরীফ, আহসান হাবীব, আহমদ রফিক, ইব্রাহীম খাঁ, ঈশ্বরচন্দ্র গুপ্ত, উইলিয়াম কেরি, এম. আর. আখতার মুকুল, কাঙাল হরিনাথ, কাজী মোতাহার হোসেন, কামিনী রায়, কালিদাস রায়, কালীপ্রসন্ন ঘোষ, কালীপ্রসন্ন।
১০ ফেব্রুয়ারি, ২০২৬
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions