১২ +৩২ +৫২ + ............ + ৩১২ সমান কত?
Solution
Correct Answer: Option B
প্রদত্ত ধারাটি হলো: ১২ + ৩২ + ৫২ + ............ + ৩১২
এটি বিজোড় সংখ্যাগুলোর বর্গের সমষ্টির একটি ধারা।
আমরা জানি, ১ থেকে n পর্যন্ত বিজোড় সংখ্যাগুলোর বর্গের সমষ্টি নির্ণয়ের সূত্র:
সমষ্টি = n(4n² - 1)⁄3
এখানে n হলো পদসংখ্যা।
ধারাটির শেষ পদ ৩১। আমাদের প্রথমে বের করতে হবে ৩১ কততম পদ।
বিজোড় সংখ্যার সাধারণ পদ = 2n - 1
প্রশ্নমতে,
2n - 1 = 31
বা, 2n = 31 + 1
বা, 2n = 32
বা, n = 16
সুতরাং, পদসংখ্যা (n) = 16
এখন, সূত্রে n এর মান বসিয়ে পাই,
সমষ্টি = 16 × (4 × 16² - 1)⁄3
= 16 × (4 × 256 - 1)⁄3
= 16 × (1024 - 1)⁄3
= 16 × 1023⁄3
= 16 × 341
= 5456
বিকল্প পদ্ধতি (সাধারণ সূত্র ব্যবহার করে):
বিজোড় সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = (১ থেকে ৩১ পর্যন্ত সকল সংখ্যার বর্গের সমষ্টি) - (২ থেকে ৩০ পর্যন্ত জোড় সংখ্যার বর্গের সমষ্টি)
১২ + ২২ + ৩২ + ... + ৩১২ = n(n+1)(2n+1)⁄6 সূত্র ব্যবহার করে পাই (n=31):
= 31 × 32 × 63⁄6 = 10416
জোড় সংখ্যাগুলোর বর্গ: ২২ + ৪২ + ... + ৩০২
= ২২(১২ + ২২ + ... + ১৫২)
= 4 × 15 × 16 × 31⁄6
= 4 × 1240 = 4960
সুতরাং, নির্ণেয় সমষ্টি = 10416 - 4960 = 5456
সতর্কতা: আপনার প্রদত্ত সঠিক উত্তরটি (10416) মূলত ১ থেকে ৩১ পর্যন্ত সকল স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টির উত্তরের সাথে মিলে যায় (যেমন: ১২+২২+৩২+...+৩১২)। কিন্তু প্রশ্নে শুধু বিজোড় সংখ্যার ধারা (১২+৩২+৫২...) দেওয়া আছে, যার সঠিক উত্তর হবে ৫৪৫৬। যেহেতু অপশনে ৫৪৫৬ নেই এবং সঠিক উত্তর ১০৪১৬ দেওয়া আছে, তাই প্রশ্নটি মূলত ১২ + ২২ + ৩২ + ...... + ৩১২ হবে বলে ধরে নেওয়া যায়।
১২ + ২২ + ৩২ + ...... + n২ ধারার সমষ্টি = n(n + 1)(2n + 1)⁄6
এখানে n = 31
∴ সমষ্টি = 31(31 + 1)(2 × 31 + 1)⁄6
= 31 × 32 × 63⁄6
= 31 × 16 × 21 [কাটাকাটি করে]
= 10416
এটি বিজোড় সংখ্যাগুলোর বর্গের সমষ্টির একটি ধারা।
আমরা জানি, ১ থেকে n পর্যন্ত বিজোড় সংখ্যাগুলোর বর্গের সমষ্টি নির্ণয়ের সূত্র:
সমষ্টি = n(4n² - 1)⁄3
এখানে n হলো পদসংখ্যা।
ধারাটির শেষ পদ ৩১। আমাদের প্রথমে বের করতে হবে ৩১ কততম পদ।
বিজোড় সংখ্যার সাধারণ পদ = 2n - 1
প্রশ্নমতে,
2n - 1 = 31
বা, 2n = 31 + 1
বা, 2n = 32
বা, n = 16
সুতরাং, পদসংখ্যা (n) = 16
এখন, সূত্রে n এর মান বসিয়ে পাই,
সমষ্টি = 16 × (4 × 16² - 1)⁄3
= 16 × (4 × 256 - 1)⁄3
= 16 × (1024 - 1)⁄3
= 16 × 1023⁄3
= 16 × 341
= 5456
বিকল্প পদ্ধতি (সাধারণ সূত্র ব্যবহার করে):
বিজোড় সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = (১ থেকে ৩১ পর্যন্ত সকল সংখ্যার বর্গের সমষ্টি) - (২ থেকে ৩০ পর্যন্ত জোড় সংখ্যার বর্গের সমষ্টি)
১২ + ২২ + ৩২ + ... + ৩১২ = n(n+1)(2n+1)⁄6 সূত্র ব্যবহার করে পাই (n=31):
= 31 × 32 × 63⁄6 = 10416
জোড় সংখ্যাগুলোর বর্গ: ২২ + ৪২ + ... + ৩০২
= ২২(১২ + ২২ + ... + ১৫২)
= 4 × 15 × 16 × 31⁄6
= 4 × 1240 = 4960
সুতরাং, নির্ণেয় সমষ্টি = 10416 - 4960 = 5456
সতর্কতা: আপনার প্রদত্ত সঠিক উত্তরটি (10416) মূলত ১ থেকে ৩১ পর্যন্ত সকল স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টির উত্তরের সাথে মিলে যায় (যেমন: ১২+২২+৩২+...+৩১২)। কিন্তু প্রশ্নে শুধু বিজোড় সংখ্যার ধারা (১২+৩২+৫২...) দেওয়া আছে, যার সঠিক উত্তর হবে ৫৪৫৬। যেহেতু অপশনে ৫৪৫৬ নেই এবং সঠিক উত্তর ১০৪১৬ দেওয়া আছে, তাই প্রশ্নটি মূলত ১২ + ২২ + ৩২ + ...... + ৩১২ হবে বলে ধরে নেওয়া যায়।
১২ + ২২ + ৩২ + ...... + n২ ধারার সমষ্টি = n(n + 1)(2n + 1)⁄6
এখানে n = 31
∴ সমষ্টি = 31(31 + 1)(2 × 31 + 1)⁄6
= 31 × 32 × 63⁄6
= 31 × 16 × 21 [কাটাকাটি করে]
= 10416
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
পরীক্ষা-১৫৪
কোর্স নামঃ
৫১ তম বিসিএস প্রস্ততি - ২৩৬ দিনে সম্পূর্ণ সিলিবাস।
টপিকসঃ
ইংরেজি সাহিত্য
বিভিন্ন লেখকের স্বীকৃতি ও উপাধি, ইংরেজি বই অবলম্বনে কতিপয় বাংলা গ্রন্থ।
বিভিন্ন লেখকের স্বীকৃতি ও উপাধি, ইংরেজি বই অবলম্বনে কতিপয় বাংলা গ্রন্থ।
১০ ফেব্রুয়ারি, ২০২৬
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা - ১৩
কোর্স নামঃ
১৯তম শিক্ষক নিবন্ধন (কলেজ পর্যায়): বাংলা
টপিকসঃ
বাংলা ব্যাকরণ:
বাগধারা
বাগধারা
পরীক্ষা শুরুঃ ৪ আগস্ট, ২০২৬
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা – ১১
কোর্স নামঃ
১৯ তম শিক্ষক নিবন্ধন - লেকচারশীট ভিত্তিক।
টপিকসঃ
ভূগোল:
পৃথিবীর বৃহত্তম, ক্ষুদ্রতম, দীর্ঘতম, গভীরতম ও উচ্চতম, বিমানবন্দর ও বিমানসংস্থা, মহাসাগর, সাগর, উপসাগর, মহাসাগরীয় দ্বীপ রাষ্ট্র, দ্বীপ দ্বীপপুঞ্জ, অন্তরীপ, নদনদী, পাহাড়- পর্বত - পর্বতশৃঙ্গ, মরুভূমি, প্রণাল, জলপ্রপাত ও হ্রদ
পৃথিবীর বৃহত্তম, ক্ষুদ্রতম, দীর্ঘতম, গভীরতম ও উচ্চতম, বিমানবন্দর ও বিমানসংস্থা, মহাসাগর, সাগর, উপসাগর, মহাসাগরীয় দ্বীপ রাষ্ট্র, দ্বীপ দ্বীপপুঞ্জ, অন্তরীপ, নদনদী, পাহাড়- পর্বত - পর্বতশৃঙ্গ, মরুভূমি, প্রণাল, জলপ্রপাত ও হ্রদ
(৬ষ্ঠ ব্যাচ) পরীক্ষা শুরুঃ ১০ সেপ্টেম্বর, ২০২৬।
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions