১^২ +৩^২ +৫^২ + ............ + ৩১^২  সমান কত?

প্রদত্ত ধারাটি হলো: ১^২ + ৩^২ + ৫^২ + ............ + ৩১^২
এটি বিজোড় সংখ্যাগুলোর বর্গের সমষ্টির একটি ধারা।
আমরা জানি, ১ থেকে n পর্যন্ত বিজোড় সংখ্যাগুলোর বর্গের সমষ্টি নির্ণয়ের সূত্র:
সমষ্টি = ^{n(4n² - 1)}⁄₃
এখানে n হলো পদসংখ্যা।
ধারাটির শেষ পদ ৩১। আমাদের প্রথমে বের করতে হবে ৩১ কততম পদ।
বিজোড় সংখ্যার সাধারণ পদ = 2n - 1
প্রশ্নমতে,
2n - 1 = 31
বা, 2n = 31 + 1
বা, 2n = 32
বা, n = 16
সুতরাং, পদসংখ্যা (n) = 16

এখন, সূত্রে n এর মান বসিয়ে পাই,
সমষ্টি = ^{16 × (4 × 16² - 1)}⁄₃
= ^{16 × (4 × 256 - 1)}⁄₃
= ^{16 × (1024 - 1)}⁄₃
= ^{16 × 1023}⁄₃
= 16 × 341
= 5456

বিকল্প পদ্ধতি (সাধারণ সূত্র ব্যবহার করে):
বিজোড় সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = (১ থেকে ৩১ পর্যন্ত সকল সংখ্যার বর্গের সমষ্টি) - (২ থেকে ৩০ পর্যন্ত জোড় সংখ্যার বর্গের সমষ্টি)
১^২ + ২^২ + ৩^২ + ... + ৩১^২ = ^n(n+1)(2n+1)⁄₆ সূত্র ব্যবহার করে পাই (n=31):
= ^{31 × 32 × 63}⁄₆ = 10416

জোড় সংখ্যাগুলোর বর্গ: ২^২ + ৪^২ + ... + ৩০^২
= ২^২(১^২ + ২^২ + ... + ১৫^২)
= 4 × ^{15 × 16 × 31}⁄₆
= 4 × 1240 = 4960
সুতরাং, নির্ণেয় সমষ্টি = 10416 - 4960 = 5456

সতর্কতা: আপনার প্রদত্ত সঠিক উত্তরটি (10416) মূলত ১ থেকে ৩১ পর্যন্ত সকল স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টির উত্তরের সাথে মিলে যায় (যেমন: ১^২+২^২+৩^২+...+৩১^২)। কিন্তু প্রশ্নে শুধু বিজোড় সংখ্যার ধারা (১^২+৩^২+৫^২...) দেওয়া আছে, যার সঠিক উত্তর হবে ৫৪৫৬। যেহেতু অপশনে ৫৪৫৬ নেই এবং সঠিক উত্তর ১০৪১৬ দেওয়া আছে, তাই প্রশ্নটি মূলত ১^২ + ২^২ + ৩^২ + ...... + ৩১^২ হবে বলে ধরে নেওয়া যায়।

১^২ + ২^২ + ৩^২ + ...... + n^২ ধারার সমষ্টি = ^{n(n + 1)(2n + 1)}⁄₆
এখানে n = 31
∴ সমষ্টি = ^{31(31 + 1)(2 × 31 + 1)}⁄₆
= ^{31 × 32 × 63}⁄₆
= 31 × 16 × 21 [কাটাকাটি করে]
= 10416