2x2 - x - 3 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?
Solution
Correct Answer: Option C
ধরি, প্রদত্ত রাশিটি হলো:
$2x^2 - x - 3$
"মিডল টার্ম ব্রেক" (Middle Term Break) বা মধ্যপদ বিশ্লেষণ পদ্ধতিতে সমাধান করতে হবে। এখানে ধ্রুবপদ $-3$ এবং $x^2$ এর সহগ $2$ গুণ করলে পাই $(2 \times -3) = -6$। এখন আমাদের এমন দুটি সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে যাদের গুণফল $-6$ এবং যোগফল মাঝের পদ $-1$ (অর্থাৎ $-x$ এর সহগ) হয়। সংখ্যা দুটি হলো $-3$ এবং $+2$।
অতএব রাশিটিকে এভাবে লেখা যায়:
$= 2x^2 - 3x + 2x - 3$
[এখানে মাঝের পদ $-x$ কে $-3x + 2x$ আকারে ভেঙে লেখা হয়েছে]
$= x(2x - 3) + 1(2x - 3)$
[প্রথম অংশ $2x^2 - 3x$ থেকে $x$ কমন নেওয়া হয়েছে এবং দ্বিতীয় অংশ $2x - 3$ থেকে $1$ কমন নেওয়া হয়েছে]
$= (2x - 3)(x + 1)$
সুতরাং, প্রদত্ত রাশিটির দুটি উৎপাদক হলো $(2x - 3)$ এবং $(x + 1)$।
যেহেতু অপশনগুলোর মধ্যে $(x + 1)$ উপস্থিত, তাই এটিই সঠিক উত্তর।
শর্টকাট টেকনিক (পরীক্ষার হলে দ্রুত সমাধানের জন্য):
সাধারণত বহুপদী রাশির উৎপাদক বের করার সময় অপশন টেস্ট (Option Test) মেথড বা ভাগশেষ উপপাদ্য (Remainder Theorem) প্রয়োগ করা সবচেয়ে সহজ।
নিচে প্রদত্ত অপশনগুলোর মান শূন্য ধরে $x$ এর মান বের করে সরাসরি রাশিতে বসাতে হবে। যদি ফলাফল শূন্য (0) হয়, তবে সেটিই উৎপাদক।
* ১ম অপশন $(2x+3)$:
$2x+3 = 0$ বা $x = -1.5$। এটি ভগ্নাংশ, তাই আমরা পরে চেক করব।
* ২য় অপশন $(x - 1)$:
$x - 1 = 0$ বা $x = 1$ হলে,
প্রদত্ত রাশি $= 2(1)^2 - 1 - 3 = 2 - 4 = -2 \neq 0$ (উৎপাদক নয়)
* ৩য় অপশন $(x + 1)$:
$x + 1 = 0$ বা $x = -1$ হলে,
প্রদত্ত রাশি $= 2(-1)^2 - (-1) - 3$
$= 2(1) + 1 - 3$
$= 2 + 1 - 3$
$= 3 - 3$
$= 0$ (মিলে গেছে)
যেহেতু $x = -1$ বসালে রাশিটির মান শূন্য হয়, তাই নিশ্চিতভাবে বলা যায় $(x + 1)$ রাশিটির একটি উৎপাদক।
সঠিক উত্তর: $x + 1$
$2x^2 - x - 3$
"মিডল টার্ম ব্রেক" (Middle Term Break) বা মধ্যপদ বিশ্লেষণ পদ্ধতিতে সমাধান করতে হবে। এখানে ধ্রুবপদ $-3$ এবং $x^2$ এর সহগ $2$ গুণ করলে পাই $(2 \times -3) = -6$। এখন আমাদের এমন দুটি সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে যাদের গুণফল $-6$ এবং যোগফল মাঝের পদ $-1$ (অর্থাৎ $-x$ এর সহগ) হয়। সংখ্যা দুটি হলো $-3$ এবং $+2$।
অতএব রাশিটিকে এভাবে লেখা যায়:
$= 2x^2 - 3x + 2x - 3$
[এখানে মাঝের পদ $-x$ কে $-3x + 2x$ আকারে ভেঙে লেখা হয়েছে]
$= x(2x - 3) + 1(2x - 3)$
[প্রথম অংশ $2x^2 - 3x$ থেকে $x$ কমন নেওয়া হয়েছে এবং দ্বিতীয় অংশ $2x - 3$ থেকে $1$ কমন নেওয়া হয়েছে]
$= (2x - 3)(x + 1)$
সুতরাং, প্রদত্ত রাশিটির দুটি উৎপাদক হলো $(2x - 3)$ এবং $(x + 1)$।
যেহেতু অপশনগুলোর মধ্যে $(x + 1)$ উপস্থিত, তাই এটিই সঠিক উত্তর।
শর্টকাট টেকনিক (পরীক্ষার হলে দ্রুত সমাধানের জন্য):
সাধারণত বহুপদী রাশির উৎপাদক বের করার সময় অপশন টেস্ট (Option Test) মেথড বা ভাগশেষ উপপাদ্য (Remainder Theorem) প্রয়োগ করা সবচেয়ে সহজ।
নিচে প্রদত্ত অপশনগুলোর মান শূন্য ধরে $x$ এর মান বের করে সরাসরি রাশিতে বসাতে হবে। যদি ফলাফল শূন্য (0) হয়, তবে সেটিই উৎপাদক।
* ১ম অপশন $(2x+3)$:
$2x+3 = 0$ বা $x = -1.5$। এটি ভগ্নাংশ, তাই আমরা পরে চেক করব।
* ২য় অপশন $(x - 1)$:
$x - 1 = 0$ বা $x = 1$ হলে,
প্রদত্ত রাশি $= 2(1)^2 - 1 - 3 = 2 - 4 = -2 \neq 0$ (উৎপাদক নয়)
* ৩য় অপশন $(x + 1)$:
$x + 1 = 0$ বা $x = -1$ হলে,
প্রদত্ত রাশি $= 2(-1)^2 - (-1) - 3$
$= 2(1) + 1 - 3$
$= 2 + 1 - 3$
$= 3 - 3$
$= 0$ (মিলে গেছে)
যেহেতু $x = -1$ বসালে রাশিটির মান শূন্য হয়, তাই নিশ্চিতভাবে বলা যায় $(x + 1)$ রাশিটির একটি উৎপাদক।
সঠিক উত্তর: $x + 1$
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions