\(\frac{1}{{\sqrt 2 }}, - 1,\sqrt 2 ,\)........... ধারাটির কোন পদ \(8\sqrt 2 \) ?
Solution
Correct Answer: Option D
প্রদত্ত ধারাটি হলো: \(\frac{1}{{\sqrt 2 }}, - 1,\sqrt 2 ,..............\)
ধারাটির ১ম পদ, \(a = \frac{1}{\sqrt 2}\)
২য় পদ = \(-1\)
৩য় পদ = \(\sqrt 2\)
এখন, সাধারণ অনুপাত \(r = \frac{\text{২য় পদ}}{\text{১ম পদ}}\)
\( = \frac{-1}{\frac{1}{\sqrt 2}}\)
\( = - \sqrt 2\) [এটি একটি গুণোত্তর ধারা কারণ প্রতিবার সাধারণ অনুপাত সমান]
ধরি, ধারাটির \(n\)-তম পদ = \(8\sqrt 2\)
আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার \(n\)-তম পদ = \(a{r^{n - 1}}\)
শর্তমতে,
\(a{r^{n - 1}} = 8\sqrt 2\)
বা, \(\frac{1}{\sqrt 2} \times (- \sqrt 2)^{n - 1} = 8\sqrt 2\)
বা, \((- \sqrt 2)^{n - 1} = 8\sqrt 2 \times \sqrt 2\) [আড়গুণন করে]
বা, \((- \sqrt 2)^{n - 1} = 8 \times 2\)
বা, \((- \sqrt 2)^{n - 1} = 16\)
এখন, আমরা জানি, \((\sqrt 2)^8 = 16\) এবং যেহেতু সূচক জোড় সংখ্যা, তাই ঋণাত্মক চিহ্নের উপর জোড় পাওয়ার থাকলে তা ধনাত্মক হয়ে যায়। অর্থাৎ, \((- \sqrt 2)^8 = 16\)।
বা, \((- \sqrt 2)^{n - 1} = (- \sqrt 2)^8\)
বা, \(n - 1 = 8\) [উভয় পক্ষের ভিত্তি সমান হলে সূচকগুলো সমান হয়]
বা, \(n = 8 + 1\)
\(\therefore n = 9\)
সুতরাং, ধারাটির ৯ম পদ \(8\sqrt 2\)।
পরীক্ষায় দ্রুত করার টেকনিক:
ধারাটি লক্ষ্য করুন: \(\frac{1}{\sqrt 2}, -1, \sqrt 2 \dots\)
এখানে প্রতিবার \(-\sqrt{2}\) গুণ হচ্ছে।
১ম পদ = \(0.707\) (প্রায়)
২য় পদ = \(-1\)
৩য় পদ = \(\sqrt 2\)
৪র্থ পদ = \(\sqrt 2 \times (-\sqrt 2) = -2\)
৫ম পদ = \(-2 \times (-\sqrt 2) = 2\sqrt 2\)
৬ষ্ঠ পদ = \(2\sqrt 2 \times (-\sqrt 2) = -4\)
৭ম পদ = \(-4 \times (-\sqrt 2) = 4\sqrt 2\)
৮ম পদ = \(4\sqrt 2 \times (-\sqrt 2) = -8\)
৯ম পদ = \(-8 \times (-\sqrt 2) = 8\sqrt 2\)
এভাবে মুখে মুখে বা ছোট করে গুণ করেই ৯ বের করা সম্ভব।
ধারাটির ১ম পদ, \(a = \frac{1}{\sqrt 2}\)
২য় পদ = \(-1\)
৩য় পদ = \(\sqrt 2\)
এখন, সাধারণ অনুপাত \(r = \frac{\text{২য় পদ}}{\text{১ম পদ}}\)
\( = \frac{-1}{\frac{1}{\sqrt 2}}\)
\( = - \sqrt 2\) [এটি একটি গুণোত্তর ধারা কারণ প্রতিবার সাধারণ অনুপাত সমান]
ধরি, ধারাটির \(n\)-তম পদ = \(8\sqrt 2\)
আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার \(n\)-তম পদ = \(a{r^{n - 1}}\)
শর্তমতে,
\(a{r^{n - 1}} = 8\sqrt 2\)
বা, \(\frac{1}{\sqrt 2} \times (- \sqrt 2)^{n - 1} = 8\sqrt 2\)
বা, \((- \sqrt 2)^{n - 1} = 8\sqrt 2 \times \sqrt 2\) [আড়গুণন করে]
বা, \((- \sqrt 2)^{n - 1} = 8 \times 2\)
বা, \((- \sqrt 2)^{n - 1} = 16\)
এখন, আমরা জানি, \((\sqrt 2)^8 = 16\) এবং যেহেতু সূচক জোড় সংখ্যা, তাই ঋণাত্মক চিহ্নের উপর জোড় পাওয়ার থাকলে তা ধনাত্মক হয়ে যায়। অর্থাৎ, \((- \sqrt 2)^8 = 16\)।
বা, \((- \sqrt 2)^{n - 1} = (- \sqrt 2)^8\)
বা, \(n - 1 = 8\) [উভয় পক্ষের ভিত্তি সমান হলে সূচকগুলো সমান হয়]
বা, \(n = 8 + 1\)
\(\therefore n = 9\)
সুতরাং, ধারাটির ৯ম পদ \(8\sqrt 2\)।
পরীক্ষায় দ্রুত করার টেকনিক:
ধারাটি লক্ষ্য করুন: \(\frac{1}{\sqrt 2}, -1, \sqrt 2 \dots\)
এখানে প্রতিবার \(-\sqrt{2}\) গুণ হচ্ছে।
১ম পদ = \(0.707\) (প্রায়)
২য় পদ = \(-1\)
৩য় পদ = \(\sqrt 2\)
৪র্থ পদ = \(\sqrt 2 \times (-\sqrt 2) = -2\)
৫ম পদ = \(-2 \times (-\sqrt 2) = 2\sqrt 2\)
৬ষ্ঠ পদ = \(2\sqrt 2 \times (-\sqrt 2) = -4\)
৭ম পদ = \(-4 \times (-\sqrt 2) = 4\sqrt 2\)
৮ম পদ = \(4\sqrt 2 \times (-\sqrt 2) = -8\)
৯ম পদ = \(-8 \times (-\sqrt 2) = 8\sqrt 2\)
এভাবে মুখে মুখে বা ছোট করে গুণ করেই ৯ বের করা সম্ভব।
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions