2 জন B.A শ্রেণির ছাত্রকে পাশাপাশি না বসিয়ে 14 জন I.A শ্রেণির এবং 10 জন B.A শ্রেণির ছাত্রকে কত রকমে একটি লাইনে সাজানো যায় ?
Solution
Correct Answer: Option B
প্রশ্নে বলা হয়েছে, ২ জন B.A শ্রেণির ছাত্রকে পাশাপাশি না বসিয়ে ১৪ জন I.A শ্রেণির এবং ১০ জন B.A শ্রেণির ছাত্রকে একটি লাইনে সাজাতে হবে।
শর্ত অনুযায়ী, কোনো দুইজন B.A ছাত্র পাশাপাশি বসতে পারবে না। এই ধরনের সমস্যার ক্ষেত্রে যাদের ওপর কোনো শর্ত নেই বা যাদের সংখ্যা বেশি, তাদের আগে বসাতে হয়। এখানে I.A শ্রেণির ছাত্রদের ওপর কোনো শর্ত নেই।
ধাপ-১: প্রথমে ১৪ জন I.A শ্রেণির ছাত্রকে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় ১৪! (ফ্যাক্টোরিয়াল ১৪) উপায়ে।
ধরি, I.A ছাত্রদের অবস্থানগুলো হলো ‘I’:
$I_1\quad I_2\quad I_3\quad .....\quad I_{14}$
ধাপ-২: এখন ১৪ জন I.A ছাত্রের মাঝখানে এবং দুই প্রান্তে মোট (১৪ + ১) = ১৫টি ফাঁকা জায়গা সৃষ্টি হয়েছে।
ফাঁকা জায়গাগুলো নিচে ‘_’ চিহ্ন দিয়ে দেখানো হলো:
_ I _ I _ I _ ........... _ I _
এই ১৫টি ফাঁকা জায়গায় যদি ১০ জন B.A ছাত্রকে বসানো যায়, তবেই কোনো দুইজন B.A ছাত্র পাশাপাশি বসবে না।
ধাপ-৩: ১৫টি ফাঁকা স্থান থেকে ১০টি স্থান বাছাই করে ১০ জন B.A ছাত্রকে বসানোর উপায় হলো $^{15}P_{10}$ বা $P(15, 10)$।
সুতরাং, মোট সমাবেশ বা সাজানোর উপায় = (I.A ছাত্রদের সাজানোর উপায়) $\times$ (B.A ছাত্রদের ফাঁকা স্থানে বসানোর উপায়)
$= 14! \times ^{15}P_{10}$
শর্টকাট বা পরীক্ষার হলে দ্রুত সমাধানের উপায়:
যখন বলা হয় "কাউকে পাশাপাশি না রেখে" সাজাতে হবে, তখন নিচের সূত্রটি মনে রাখবেন:
মোট উপায় = (যাদের শর্ত নেই তাদের নিজেদের বিন্যাস) $\times$ (ফাঁকা স্থানে শর্তযুক্ত ব্যক্তিদের বিন্যাস)
এখানে শর্ত নেই I.A ছাত্রদের (১৪ জন), তাই তাদের বিন্যাস $= 14!$
১৪ জনের পাশে ফাঁকা জায়গা তৈরি হয় $= (14 + 1) = 15$ টি।
এই ১৫টি জায়গায় ১০ জন B.A ছাত্র বসবে, যার বিন্যাস $= ^{15}P_{10}$
$\therefore$ নির্ণেয় সাজানোর সংখ্যা $= 14! \times ^{15}P_{10}$
শর্ত অনুযায়ী, কোনো দুইজন B.A ছাত্র পাশাপাশি বসতে পারবে না। এই ধরনের সমস্যার ক্ষেত্রে যাদের ওপর কোনো শর্ত নেই বা যাদের সংখ্যা বেশি, তাদের আগে বসাতে হয়। এখানে I.A শ্রেণির ছাত্রদের ওপর কোনো শর্ত নেই।
ধাপ-১: প্রথমে ১৪ জন I.A শ্রেণির ছাত্রকে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় ১৪! (ফ্যাক্টোরিয়াল ১৪) উপায়ে।
ধরি, I.A ছাত্রদের অবস্থানগুলো হলো ‘I’:
$I_1\quad I_2\quad I_3\quad .....\quad I_{14}$
ধাপ-২: এখন ১৪ জন I.A ছাত্রের মাঝখানে এবং দুই প্রান্তে মোট (১৪ + ১) = ১৫টি ফাঁকা জায়গা সৃষ্টি হয়েছে।
ফাঁকা জায়গাগুলো নিচে ‘_’ চিহ্ন দিয়ে দেখানো হলো:
_ I _ I _ I _ ........... _ I _
এই ১৫টি ফাঁকা জায়গায় যদি ১০ জন B.A ছাত্রকে বসানো যায়, তবেই কোনো দুইজন B.A ছাত্র পাশাপাশি বসবে না।
ধাপ-৩: ১৫টি ফাঁকা স্থান থেকে ১০টি স্থান বাছাই করে ১০ জন B.A ছাত্রকে বসানোর উপায় হলো $^{15}P_{10}$ বা $P(15, 10)$।
সুতরাং, মোট সমাবেশ বা সাজানোর উপায় = (I.A ছাত্রদের সাজানোর উপায়) $\times$ (B.A ছাত্রদের ফাঁকা স্থানে বসানোর উপায়)
$= 14! \times ^{15}P_{10}$
শর্টকাট বা পরীক্ষার হলে দ্রুত সমাধানের উপায়:
যখন বলা হয় "কাউকে পাশাপাশি না রেখে" সাজাতে হবে, তখন নিচের সূত্রটি মনে রাখবেন:
মোট উপায় = (যাদের শর্ত নেই তাদের নিজেদের বিন্যাস) $\times$ (ফাঁকা স্থানে শর্তযুক্ত ব্যক্তিদের বিন্যাস)
এখানে শর্ত নেই I.A ছাত্রদের (১৪ জন), তাই তাদের বিন্যাস $= 14!$
১৪ জনের পাশে ফাঁকা জায়গা তৈরি হয় $= (14 + 1) = 15$ টি।
এই ১৫টি জায়গায় ১০ জন B.A ছাত্র বসবে, যার বিন্যাস $= ^{15}P_{10}$
$\therefore$ নির্ণেয় সাজানোর সংখ্যা $= 14! \times ^{15}P_{10}$
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions