নিচের কোনটি x3 + 7x2 - x - 7 এবং 2x4 - x2 - 1 উভয় বহুপদীয় সাধারণ উৎপাদক ?
Solution
Correct Answer: Option C
ধরি, প্রদত্ত রাশিদ্বয় যথাক্রমে,
$P(x) = x^3 + 7x^2 - x - 7$
এবং $Q(x) = 2x^4 - x^2 - 1$
১ম রাশির উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
$P(x) = x^3 + 7x^2 - x - 7$
$= x^2(x + 7) - 1(x + 7)$
$= (x + 7)(x^2 - 1)$
$= (x + 7)(x + 1)(x - 1)$
২য় রাশির উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
$Q(x) = 2x^4 - x^2 - 1$
$= 2x^4 - 2x^2 + x^2 - 1$ [মধ্যপদ বিশ্লেষণ বা মিডল টার্ম ব্রেক করে]
$= 2x^2(x^2 - 1) + 1(x^2 - 1)$
$= (x^2 - 1)(2x^2 + 1)$
$= (x + 1)(x - 1)(2x^2 + 1)$
এখন, উভয় রাশির সাধারণ উৎপাদকগুলো লক্ষ্য করি।
১ম রাশির উৎপাদকগুলো: $(x + 7), (x + 1), (x - 1)$
২য় রাশির উৎপাদকগুলো: $(x + 1), (x - 1), (2x^2 + 1)$
স্পষ্টতই দেখা যাচ্ছে, $(x + 1)$ এবং $(x - 1)$ উভয় রাশিতেই বিদ্যমান।
যেহেতু অপশনগুলোর মধ্যে শুধু x - 1 সঠিক উত্তরে দেওয়া আছে এবং 'x+1' বা 'ক ও খ উভয়ই' এমন কোনো অপশন সঠিক উত্তর হিসেবে মার্ক করা হয়নি, তাই প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে সঠিকটি বেছে নিতে হবে।
প্রশ্নে প্রদত্ত অপশন অনুযায়ী:
অপশন ১: x - 2 (ভুল)
অপশন ২: x + 1 (এটিও একটি সাধারণ উৎপাদক, কিন্তু প্রদত্ত 'সঠিক উত্তর' অনুযায়ী এটি গ্রহণ করা হয়নি। প্রশ্নকর্তা হয়তো যেকোনো একটি নির্দিষ্ট উৎপাদক জানতে চেয়েছেন অথবা প্রশ্নে সামান্য অসংগতি থাকতে পারে। তবে $x-1$ নিশ্চিতভাবেই একটি সাধারণ উৎপাদক।)
অপশন ৩: x - 1 (সঠিক)
অপশন ৪: ক ও খ উভয়ই (যেহেতু 'ক' ভুল, তাই এটি সঠিক হবে না)
সুতরাং, প্রদত্ত অপশনগুলোর ভিত্তিতে সঠিক সাধারণ উৎপাদক হলো x - 1।
শর্টকাট টেকনিক (পরীক্ষার হলের জন্য):
উৎপাদক উপপাদ্য (Factor Theorem) ব্যবহার করে খুব সহজে উত্তর বের করা যায়।
যদি $(x - a)$ কোনো রাশির উৎপাদক হয়, তবে ঐ রাশিতে $x = a$ বসালে রাশির মান ০ হবে।
অপশন ১: $x - 2$
$x = 2$ হলে, $2^3 + 7(2^2) ...$ মান অনেক বড় হবে, ০ হবে না। বাদ।
অপশন ৩: $x - 1$ (এটি চেক করি)
$x - 1 = 0$ হলে $x = 1$
১ম রাশিতে বসাই: $1^3 + 7(1)^2 - 1 - 7 = 1 + 7 - 1 - 7 = 0$ (মিলেছে)
২য় রাশিতে বসাই: $2(1)^4 - 1^2 - 1 = 2 - 1 - 1 = 0$ (মিলেছে)
যেহেতু $x = 1$ বসালে উভয় রাশির মান শূন্য হয়, তাই $(x - 1)$ নিশ্চিতভাবে একটি সাধারণ উৎপাদক।
$P(x) = x^3 + 7x^2 - x - 7$
এবং $Q(x) = 2x^4 - x^2 - 1$
১ম রাশির উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
$P(x) = x^3 + 7x^2 - x - 7$
$= x^2(x + 7) - 1(x + 7)$
$= (x + 7)(x^2 - 1)$
$= (x + 7)(x + 1)(x - 1)$
২য় রাশির উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
$Q(x) = 2x^4 - x^2 - 1$
$= 2x^4 - 2x^2 + x^2 - 1$ [মধ্যপদ বিশ্লেষণ বা মিডল টার্ম ব্রেক করে]
$= 2x^2(x^2 - 1) + 1(x^2 - 1)$
$= (x^2 - 1)(2x^2 + 1)$
$= (x + 1)(x - 1)(2x^2 + 1)$
এখন, উভয় রাশির সাধারণ উৎপাদকগুলো লক্ষ্য করি।
১ম রাশির উৎপাদকগুলো: $(x + 7), (x + 1), (x - 1)$
২য় রাশির উৎপাদকগুলো: $(x + 1), (x - 1), (2x^2 + 1)$
স্পষ্টতই দেখা যাচ্ছে, $(x + 1)$ এবং $(x - 1)$ উভয় রাশিতেই বিদ্যমান।
যেহেতু অপশনগুলোর মধ্যে শুধু x - 1 সঠিক উত্তরে দেওয়া আছে এবং 'x+1' বা 'ক ও খ উভয়ই' এমন কোনো অপশন সঠিক উত্তর হিসেবে মার্ক করা হয়নি, তাই প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে সঠিকটি বেছে নিতে হবে।
প্রশ্নে প্রদত্ত অপশন অনুযায়ী:
অপশন ১: x - 2 (ভুল)
অপশন ২: x + 1 (এটিও একটি সাধারণ উৎপাদক, কিন্তু প্রদত্ত 'সঠিক উত্তর' অনুযায়ী এটি গ্রহণ করা হয়নি। প্রশ্নকর্তা হয়তো যেকোনো একটি নির্দিষ্ট উৎপাদক জানতে চেয়েছেন অথবা প্রশ্নে সামান্য অসংগতি থাকতে পারে। তবে $x-1$ নিশ্চিতভাবেই একটি সাধারণ উৎপাদক।)
অপশন ৩: x - 1 (সঠিক)
অপশন ৪: ক ও খ উভয়ই (যেহেতু 'ক' ভুল, তাই এটি সঠিক হবে না)
সুতরাং, প্রদত্ত অপশনগুলোর ভিত্তিতে সঠিক সাধারণ উৎপাদক হলো x - 1।
শর্টকাট টেকনিক (পরীক্ষার হলের জন্য):
উৎপাদক উপপাদ্য (Factor Theorem) ব্যবহার করে খুব সহজে উত্তর বের করা যায়।
যদি $(x - a)$ কোনো রাশির উৎপাদক হয়, তবে ঐ রাশিতে $x = a$ বসালে রাশির মান ০ হবে।
অপশন ১: $x - 2$
$x = 2$ হলে, $2^3 + 7(2^2) ...$ মান অনেক বড় হবে, ০ হবে না। বাদ।
অপশন ৩: $x - 1$ (এটি চেক করি)
$x - 1 = 0$ হলে $x = 1$
১ম রাশিতে বসাই: $1^3 + 7(1)^2 - 1 - 7 = 1 + 7 - 1 - 7 = 0$ (মিলেছে)
২য় রাশিতে বসাই: $2(1)^4 - 1^2 - 1 = 2 - 1 - 1 = 0$ (মিলেছে)
যেহেতু $x = 1$ বসালে উভয় রাশির মান শূন্য হয়, তাই $(x - 1)$ নিশ্চিতভাবে একটি সাধারণ উৎপাদক।
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions