নিচের কোনটি x3 + 7x2 - x - 7 এবং 2x4 - x2 - 1 উভয় বহুপদীয় সাধারণ উৎপাদক ?
Solution
Correct Answer: Option C
ধরি, প্রদত্ত রাশিদ্বয় যথাক্রমে,
$P(x) = x^3 + 7x^2 - x - 7$
এবং $Q(x) = 2x^4 - x^2 - 1$
১ম রাশির উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
$P(x) = x^3 + 7x^2 - x - 7$
$= x^2(x + 7) - 1(x + 7)$
$= (x + 7)(x^2 - 1)$
$= (x + 7)(x + 1)(x - 1)$
২য় রাশির উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
$Q(x) = 2x^4 - x^2 - 1$
$= 2x^4 - 2x^2 + x^2 - 1$ [মধ্যপদ বিশ্লেষণ বা মিডল টার্ম ব্রেক করে]
$= 2x^2(x^2 - 1) + 1(x^2 - 1)$
$= (x^2 - 1)(2x^2 + 1)$
$= (x + 1)(x - 1)(2x^2 + 1)$
এখন, উভয় রাশির সাধারণ উৎপাদকগুলো লক্ষ্য করি।
১ম রাশির উৎপাদকগুলো: $(x + 7), (x + 1), (x - 1)$
২য় রাশির উৎপাদকগুলো: $(x + 1), (x - 1), (2x^2 + 1)$
স্পষ্টতই দেখা যাচ্ছে, $(x + 1)$ এবং $(x - 1)$ উভয় রাশিতেই বিদ্যমান।
যেহেতু অপশনগুলোর মধ্যে শুধু x - 1 সঠিক উত্তরে দেওয়া আছে এবং 'x+1' বা 'ক ও খ উভয়ই' এমন কোনো অপশন সঠিক উত্তর হিসেবে মার্ক করা হয়নি, তাই প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে সঠিকটি বেছে নিতে হবে।
প্রশ্নে প্রদত্ত অপশন অনুযায়ী:
অপশন ১: x - 2 (ভুল)
অপশন ২: x + 1 (এটিও একটি সাধারণ উৎপাদক, কিন্তু প্রদত্ত 'সঠিক উত্তর' অনুযায়ী এটি গ্রহণ করা হয়নি। প্রশ্নকর্তা হয়তো যেকোনো একটি নির্দিষ্ট উৎপাদক জানতে চেয়েছেন অথবা প্রশ্নে সামান্য অসংগতি থাকতে পারে। তবে $x-1$ নিশ্চিতভাবেই একটি সাধারণ উৎপাদক।)
অপশন ৩: x - 1 (সঠিক)
অপশন ৪: ক ও খ উভয়ই (যেহেতু 'ক' ভুল, তাই এটি সঠিক হবে না)
সুতরাং, প্রদত্ত অপশনগুলোর ভিত্তিতে সঠিক সাধারণ উৎপাদক হলো x - 1।
শর্টকাট টেকনিক (পরীক্ষার হলের জন্য):
উৎপাদক উপপাদ্য (Factor Theorem) ব্যবহার করে খুব সহজে উত্তর বের করা যায়।
যদি $(x - a)$ কোনো রাশির উৎপাদক হয়, তবে ঐ রাশিতে $x = a$ বসালে রাশির মান ০ হবে।
অপশন ১: $x - 2$
$x = 2$ হলে, $2^3 + 7(2^2) ...$ মান অনেক বড় হবে, ০ হবে না। বাদ।
অপশন ৩: $x - 1$ (এটি চেক করি)
$x - 1 = 0$ হলে $x = 1$
১ম রাশিতে বসাই: $1^3 + 7(1)^2 - 1 - 7 = 1 + 7 - 1 - 7 = 0$ (মিলেছে)
২য় রাশিতে বসাই: $2(1)^4 - 1^2 - 1 = 2 - 1 - 1 = 0$ (মিলেছে)
যেহেতু $x = 1$ বসালে উভয় রাশির মান শূন্য হয়, তাই $(x - 1)$ নিশ্চিতভাবে একটি সাধারণ উৎপাদক।
$P(x) = x^3 + 7x^2 - x - 7$
এবং $Q(x) = 2x^4 - x^2 - 1$
১ম রাশির উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
$P(x) = x^3 + 7x^2 - x - 7$
$= x^2(x + 7) - 1(x + 7)$
$= (x + 7)(x^2 - 1)$
$= (x + 7)(x + 1)(x - 1)$
২য় রাশির উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
$Q(x) = 2x^4 - x^2 - 1$
$= 2x^4 - 2x^2 + x^2 - 1$ [মধ্যপদ বিশ্লেষণ বা মিডল টার্ম ব্রেক করে]
$= 2x^2(x^2 - 1) + 1(x^2 - 1)$
$= (x^2 - 1)(2x^2 + 1)$
$= (x + 1)(x - 1)(2x^2 + 1)$
এখন, উভয় রাশির সাধারণ উৎপাদকগুলো লক্ষ্য করি।
১ম রাশির উৎপাদকগুলো: $(x + 7), (x + 1), (x - 1)$
২য় রাশির উৎপাদকগুলো: $(x + 1), (x - 1), (2x^2 + 1)$
স্পষ্টতই দেখা যাচ্ছে, $(x + 1)$ এবং $(x - 1)$ উভয় রাশিতেই বিদ্যমান।
যেহেতু অপশনগুলোর মধ্যে শুধু x - 1 সঠিক উত্তরে দেওয়া আছে এবং 'x+1' বা 'ক ও খ উভয়ই' এমন কোনো অপশন সঠিক উত্তর হিসেবে মার্ক করা হয়নি, তাই প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে সঠিকটি বেছে নিতে হবে।
প্রশ্নে প্রদত্ত অপশন অনুযায়ী:
অপশন ১: x - 2 (ভুল)
অপশন ২: x + 1 (এটিও একটি সাধারণ উৎপাদক, কিন্তু প্রদত্ত 'সঠিক উত্তর' অনুযায়ী এটি গ্রহণ করা হয়নি। প্রশ্নকর্তা হয়তো যেকোনো একটি নির্দিষ্ট উৎপাদক জানতে চেয়েছেন অথবা প্রশ্নে সামান্য অসংগতি থাকতে পারে। তবে $x-1$ নিশ্চিতভাবেই একটি সাধারণ উৎপাদক।)
অপশন ৩: x - 1 (সঠিক)
অপশন ৪: ক ও খ উভয়ই (যেহেতু 'ক' ভুল, তাই এটি সঠিক হবে না)
সুতরাং, প্রদত্ত অপশনগুলোর ভিত্তিতে সঠিক সাধারণ উৎপাদক হলো x - 1।
শর্টকাট টেকনিক (পরীক্ষার হলের জন্য):
উৎপাদক উপপাদ্য (Factor Theorem) ব্যবহার করে খুব সহজে উত্তর বের করা যায়।
যদি $(x - a)$ কোনো রাশির উৎপাদক হয়, তবে ঐ রাশিতে $x = a$ বসালে রাশির মান ০ হবে।
অপশন ১: $x - 2$
$x = 2$ হলে, $2^3 + 7(2^2) ...$ মান অনেক বড় হবে, ০ হবে না। বাদ।
অপশন ৩: $x - 1$ (এটি চেক করি)
$x - 1 = 0$ হলে $x = 1$
১ম রাশিতে বসাই: $1^3 + 7(1)^2 - 1 - 7 = 1 + 7 - 1 - 7 = 0$ (মিলেছে)
২য় রাশিতে বসাই: $2(1)^4 - 1^2 - 1 = 2 - 1 - 1 = 0$ (মিলেছে)
যেহেতু $x = 1$ বসালে উভয় রাশির মান শূন্য হয়, তাই $(x - 1)$ নিশ্চিতভাবে একটি সাধারণ উৎপাদক।
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
পরীক্ষা – ৭৯
কোর্স নামঃ
প্রাইমারি প্রধান শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি (২য় ব্যাচ)
টপিকসঃ
আন্তর্জাতিক বিষয়াবলী সম্পূর্ণ সিলেবাস (১০০ মার্ক)
৫ ফেব্রুয়ারি থেকে শুরু।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা-৫৪
কোর্স নামঃ
৫১ তম বিসিএস প্রস্ততি - ২৩৬ দিনে সম্পূর্ণ সিলিবাস।
টপিকসঃ
বাংলা সাহিত্য
খুব গুরুত্বপূর্ণঃ কাজী নজরুল ইসলাম।
গুরুত্বপূর্ণঃ মানিক বন্দ্যোপাধ্যায়, এস. ওয়াজেদ আলি, কায়কোবাদ, কাজী ইমদাদুল হক, কাজী আবদুল ওদুদ, জহির রায়হান, জাহানারা ইমাম, দ্বিজেন্দ্রলাল রায়, নির্মলেন্দু গুণ, নুরুল মোমেন, প্যারীচাঁদ মিত্র,।
কম গুরুত্বপূর্ণঃ আবুল হাসান, আসাদ চৌধুরী, আরজ আলী মাতুব্বর, আশরাফ সিদ্দিকী, আহমদ ছফা, ড. আহমদ শরীফ, আহসান হাবীব, আহমদ রফিক, ইব্রাহীম খাঁ, ঈশ্বরচন্দ্র গুপ্ত, উইলিয়াম কেরি, এম. আর. আখতার মুকুল, কাঙাল হরিনাথ, কাজী মোতাহার হোসেন, কামিনী রায়, কালিদাস রায়, কালীপ্রসন্ন ঘোষ, কালীপ্রসন্ন।
খুব গুরুত্বপূর্ণঃ কাজী নজরুল ইসলাম।
গুরুত্বপূর্ণঃ মানিক বন্দ্যোপাধ্যায়, এস. ওয়াজেদ আলি, কায়কোবাদ, কাজী ইমদাদুল হক, কাজী আবদুল ওদুদ, জহির রায়হান, জাহানারা ইমাম, দ্বিজেন্দ্রলাল রায়, নির্মলেন্দু গুণ, নুরুল মোমেন, প্যারীচাঁদ মিত্র,।
কম গুরুত্বপূর্ণঃ আবুল হাসান, আসাদ চৌধুরী, আরজ আলী মাতুব্বর, আশরাফ সিদ্দিকী, আহমদ ছফা, ড. আহমদ শরীফ, আহসান হাবীব, আহমদ রফিক, ইব্রাহীম খাঁ, ঈশ্বরচন্দ্র গুপ্ত, উইলিয়াম কেরি, এম. আর. আখতার মুকুল, কাঙাল হরিনাথ, কাজী মোতাহার হোসেন, কামিনী রায়, কালিদাস রায়, কালীপ্রসন্ন ঘোষ, কালীপ্রসন্ন।
১০ ফেব্রুয়ারি, ২০২৬
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions