1+\(\frac{1}{3}\)+\(\frac{1}{9}\)+ ........+ \(\frac{1}{{243}}\) ধারাটির সমষ্টি কত ?
Solution
Correct Answer: Option B
এখানে,
প্রদত্ত ধারাটি হলো: 1 + \(\frac{1}{3}\) + \(\frac{1}{9}\) + ........ + \(\frac{1}{{243}}\)
এটি একটি গুণোত্তর ধারা (Geometric Progression)।
ধরি,
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = \(\frac{\text{২য় পদ}}{\text{১ম পদ}}\) = \(\frac{1/3}{1}\) = \(\frac{1}{3}\)
যেহেতু, r = \(\frac{1}{3}\) < 1, তাই সমষ্টির সূত্র হবে, \(S_n = \frac{{a(1 - r^n)}}{{1 - r}}\)
এখন আমাদের পদসংখ্যা (n) বের করতে হবে।
ধরি, n-তম পদ = \(\frac{1}{{243}}\)
আমরা জানি, n-তম পদের সূত্র = \(a \cdot r^{n-1}\)
\(\therefore 1 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n - 1} = \frac{1}{{243}}\)
বা, \(\left(\frac{1}{3}\right)^{n - 1} = \frac{1}{{3^5}}\) [∵ \(3^5 = 243\)]
বা, \(\left(\frac{1}{3}\right)^{n - 1} = \left(\frac{1}{3}\right)^5\)
বা, \(n - 1 = 5\)
বা, n = 5 + 1
\(\therefore\) n = 6
এখন, ধারাটির সমষ্টি,
\(S_6 = \frac{{1 \left\{ 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^6 \right\}}}{{1 - \frac{1}{3}}}\)
\(= \frac{{1 - \frac{1}{{729}}}}{{\frac{{3 - 1}}{3}}}\) [∵ \(3^6 = 729\)]
\(= \frac{{\frac{{729 - 1}}{{729}}}}{{\frac{2}{3}}}\)
\(= \frac{{\frac{{728}}{{729}}}}{{\frac{2}{3}}}\)
\(= \frac{{728}}{{729}} \times \frac{3}{2}\)
\(= \frac{{364}}{{243}}\) [কাটাকাটি করে]
\(\therefore\) নির্ণেয় সমষ্টি \(= \frac{{364}}{{243}}\)
বিকল্প পদ্ধতি/ শর্টকাট (পরীক্ষার হলের জন্য):
ধারাটি লক্ষ্য করুন: 1 + \(\frac{1}{3}\) + \(\frac{1}{9}\) + \(\frac{1}{{27}}\) + \(\frac{1}{{81}}\) + \(\frac{1}{{243}}\)
এখানে মোট পদ 6 টি। শেষ পদ যেহেতু \(\frac{1}{{243}}\), তাই সাধারণ লসাগু হবে 243।
সরাসরি লসাগু করে যোগ করে পাই,
= \(\frac{{243 + 81 + 27 + 9 + 3 + 1}}{{243}}\)
= \(\frac{{364}}{{243}}\)
প্রদত্ত ধারাটি হলো: 1 + \(\frac{1}{3}\) + \(\frac{1}{9}\) + ........ + \(\frac{1}{{243}}\)
এটি একটি গুণোত্তর ধারা (Geometric Progression)।
ধরি,
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = \(\frac{\text{২য় পদ}}{\text{১ম পদ}}\) = \(\frac{1/3}{1}\) = \(\frac{1}{3}\)
যেহেতু, r = \(\frac{1}{3}\) < 1, তাই সমষ্টির সূত্র হবে, \(S_n = \frac{{a(1 - r^n)}}{{1 - r}}\)
এখন আমাদের পদসংখ্যা (n) বের করতে হবে।
ধরি, n-তম পদ = \(\frac{1}{{243}}\)
আমরা জানি, n-তম পদের সূত্র = \(a \cdot r^{n-1}\)
\(\therefore 1 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n - 1} = \frac{1}{{243}}\)
বা, \(\left(\frac{1}{3}\right)^{n - 1} = \frac{1}{{3^5}}\) [∵ \(3^5 = 243\)]
বা, \(\left(\frac{1}{3}\right)^{n - 1} = \left(\frac{1}{3}\right)^5\)
বা, \(n - 1 = 5\)
বা, n = 5 + 1
\(\therefore\) n = 6
এখন, ধারাটির সমষ্টি,
\(S_6 = \frac{{1 \left\{ 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^6 \right\}}}{{1 - \frac{1}{3}}}\)
\(= \frac{{1 - \frac{1}{{729}}}}{{\frac{{3 - 1}}{3}}}\) [∵ \(3^6 = 729\)]
\(= \frac{{\frac{{729 - 1}}{{729}}}}{{\frac{2}{3}}}\)
\(= \frac{{\frac{{728}}{{729}}}}{{\frac{2}{3}}}\)
\(= \frac{{728}}{{729}} \times \frac{3}{2}\)
\(= \frac{{364}}{{243}}\) [কাটাকাটি করে]
\(\therefore\) নির্ণেয় সমষ্টি \(= \frac{{364}}{{243}}\)
বিকল্প পদ্ধতি/ শর্টকাট (পরীক্ষার হলের জন্য):
ধারাটি লক্ষ্য করুন: 1 + \(\frac{1}{3}\) + \(\frac{1}{9}\) + \(\frac{1}{{27}}\) + \(\frac{1}{{81}}\) + \(\frac{1}{{243}}\)
এখানে মোট পদ 6 টি। শেষ পদ যেহেতু \(\frac{1}{{243}}\), তাই সাধারণ লসাগু হবে 243।
সরাসরি লসাগু করে যোগ করে পাই,
= \(\frac{{243 + 81 + 27 + 9 + 3 + 1}}{{243}}\)
= \(\frac{{364}}{{243}}\)
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
পরীক্ষা – ১১২
কোর্স নামঃ
১৯ তম শিক্ষক নিবন্ধন - লেকচারশীট ভিত্তিক।
টপিকসঃ
সাধারণ জ্ঞান – বাংলাদেশ
বাংলাদেশের জাতিগোষ্ঠী ও উপজাতি সংক্রান্ত বিষয়াদি ষষ্ঠ জনশুমারি ও গৃহগণনা ২০২২। বাংলাদেশের খেলাধুলা বাংলাদেশের কৃষ্টি ও সংস্কৃতি বাংলার সংগীত
বাংলাদেশের জাতিগোষ্ঠী ও উপজাতি সংক্রান্ত বিষয়াদি ষষ্ঠ জনশুমারি ও গৃহগণনা ২০২২। বাংলাদেশের খেলাধুলা বাংলাদেশের কৃষ্টি ও সংস্কৃতি বাংলার সংগীত
পরীক্ষা শুরুঃ ৩য় ব্যাচ শুরু ৫ নভেম্বর, ২০২৫।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা – ৩৮
কোর্স নামঃ
প্রাইমারি প্রধান শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি (২য় ব্যাচ)
টপিকসঃ
বাংলা: বানান
ইংরেজি: Literary Terms
গণিত: স্থানাঙ্ক জ্যামিতি, সমস্যা সমাধান
সাধারণ জ্ঞান: শিল্প-বাণিজ্য
ইংরেজি: Literary Terms
গণিত: স্থানাঙ্ক জ্যামিতি, সমস্যা সমাধান
সাধারণ জ্ঞান: শিল্প-বাণিজ্য
৫ ফেব্রুয়ারি থেকে শুরু।
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions