একটি আয়তাকার বাগানের পরিসীমা 56 মিটার এবং একটি কর্ণ 20 মিটার । ঐ বাগানের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য কত ?
Solution
Correct Answer: Option A
মনে করি, আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = \(x\) মিটার এবং প্রস্থ = \(y\) মিটার।
আমরা জানি,
আয়তাকার ক্ষেত্রের পরিসীমা = \(2(x + y)\)
এবং কর্ণ = \(\sqrt{x^2 + y^2}\)
প্রশ্নমতে,
\(2(x + y) = 56\)
বা, \(x + y = \frac{56}{2}\)
বা, \(x + y = 28\) ........... (i)
এবং,
\(\sqrt{x^2 + y^2} = 20\)
বা, \((\sqrt{x^2 + y^2})^2 = (20)^2\) [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]
বা, \(x^2 + y^2 = 400\)
আমরা জানি,
\(2xy = (x + y)^2 - (x^2 + y^2)\)
বা, \(2xy = (28)^2 - 400\)
বা, \(2xy = 784 - 400\)
বা, \(2xy = 384\)
বা, \(xy = \frac{384}{2}\)
\(\therefore xy = 192\)
আমরা জানি, আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = \(xy\) = 192 বর্গমিটার।
প্রশ্নমতে, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = 192 বর্গমিটার।
ধরি, বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = \(a\) মিটার
\(\therefore a^2 = 192\)
বা, \(a = \sqrt{192}\)
বা, \(a = \sqrt{64 \times 3}\)
বা, \(a = 8\sqrt{3}\)
\(\therefore\) বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য \(8\sqrt{3}\) মিটার।
শর্টকাট টেকনিক:
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল বের করার সরাসরি সূত্র (যদি পরিসীমা এবং কর্ণ দেওয়া থাকে):
ক্ষেত্রফল = \(\frac{(\text{পরিসীমা}/2)^2 - (\text{কর্ণ})^2}{2}\)
এখানে,
পরিসীমা = 56 এবং কর্ণ = 20
\(\therefore\) ক্ষেত্রফল = \(\frac{(56/2)^2 - 20^2}{2}\)
= \(\frac{28^2 - 400}{2}\)
= \(\frac{784 - 400}{2}\)
= \(\frac{384}{2}\)
= 192
এখন, বর্গক্ষেত্রের এক বাহু \( = \sqrt{\text{ক্ষেত্রফল}}\)
\(= \sqrt{192}\)
\(= \sqrt{64 \times 3}\)
\(= 8\sqrt{3}\) মিটার।
আমরা জানি,
আয়তাকার ক্ষেত্রের পরিসীমা = \(2(x + y)\)
এবং কর্ণ = \(\sqrt{x^2 + y^2}\)
প্রশ্নমতে,
\(2(x + y) = 56\)
বা, \(x + y = \frac{56}{2}\)
বা, \(x + y = 28\) ........... (i)
এবং,
\(\sqrt{x^2 + y^2} = 20\)
বা, \((\sqrt{x^2 + y^2})^2 = (20)^2\) [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]
বা, \(x^2 + y^2 = 400\)
আমরা জানি,
\(2xy = (x + y)^2 - (x^2 + y^2)\)
বা, \(2xy = (28)^2 - 400\)
বা, \(2xy = 784 - 400\)
বা, \(2xy = 384\)
বা, \(xy = \frac{384}{2}\)
\(\therefore xy = 192\)
আমরা জানি, আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = \(xy\) = 192 বর্গমিটার।
প্রশ্নমতে, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = 192 বর্গমিটার।
ধরি, বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = \(a\) মিটার
\(\therefore a^2 = 192\)
বা, \(a = \sqrt{192}\)
বা, \(a = \sqrt{64 \times 3}\)
বা, \(a = 8\sqrt{3}\)
\(\therefore\) বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য \(8\sqrt{3}\) মিটার।
শর্টকাট টেকনিক:
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল বের করার সরাসরি সূত্র (যদি পরিসীমা এবং কর্ণ দেওয়া থাকে):
ক্ষেত্রফল = \(\frac{(\text{পরিসীমা}/2)^2 - (\text{কর্ণ})^2}{2}\)
এখানে,
পরিসীমা = 56 এবং কর্ণ = 20
\(\therefore\) ক্ষেত্রফল = \(\frac{(56/2)^2 - 20^2}{2}\)
= \(\frac{28^2 - 400}{2}\)
= \(\frac{784 - 400}{2}\)
= \(\frac{384}{2}\)
= 192
এখন, বর্গক্ষেত্রের এক বাহু \( = \sqrt{\text{ক্ষেত্রফল}}\)
\(= \sqrt{192}\)
\(= \sqrt{64 \times 3}\)
\(= 8\sqrt{3}\) মিটার।
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions