\({x^{2\;}} + \frac{1}{{{x^{2\;}}}}\) এর নিম্নোক্ত কোন মানের জন্য \({x^3} - \frac{1}{{{x^3}}}\) = 0 হবে ?
Solution
Correct Answer: Option A
দেওয়া আছে,
\({x^3} - \frac{1}{{{x^3}}}\) = 0
বা, \({{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^3} + 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x}\left( {x - \frac{1}{x}} \right) = 0\) [ \(\because {a^3} - {b^3} = {\left( {a - b} \right)^3} + 3ab\left( {a - b} \right)\) সূত্র প্রয়োগ করে ]
বা, \({{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^3} + 3\left( {x - \frac{1}{x}} \right) = 0\)
বা, \(\left( {x - \frac{1}{x}} \right)\left\{ {{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2} + 3} \right\} = 0\)
হয়,
\(\left( {x - \frac{1}{x}} \right) = 0\)
বা, \(x = \frac{1}{x}\)
বা, \(x^2 = 1\) .........(i)
অথবা,
\({{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2} + 3} = 0\)
বা, \({{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2}} = -3\)
কিন্তু কোনো বাস্তব সংখ্যার বর্গ ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই এই মানটি গ্রহণযোগ্য নয়।
সুতরাং, সমীকরণটি সিদ্ধ হওয়ার জন্য \(x^2 = 1\) হতে হবে।
এখন আমাদের বের করতে বলা হয়েছে, \({x^{2\;}} + \frac{1}{{{x^{2\;}}}}\) এর মান।
(i) নং হতে \(x^2\) এর মান বসিয়ে পাই,
\({x^{2\;}} + \frac{1}{{{x^{2\;}}}}\)
= \(1 + \frac{1}{1}\)
= \(1 + 1\)
= 2
অতএব, \({x^{2\;}} + \frac{1}{{{x^{2\;}}}}\) এর মান 2 হলে \({x^3} - \frac{1}{{{x^3}}} = 0\) হবে।
শর্টকাট টেকনিক (পরীক্ষার জন্য):
আমরা জানি, যদি \(x - \frac{1}{x} = 0\) হয়, তবে \(x^3 - \frac{1}{x^3} = 0\) হবে।
কারণ, \(0^3 + 3(0) = 0\)।
যেহেতু \(x - \frac{1}{x} = 0\),
সেহেতু \(x = \frac{1}{x}\) বা \(x^2 = 1\) বা \(x = 1\) (বা -1)
এখন প্রদত্ত রাশিতে \(x = 1\) মানটি বসিয়ে পাই,
\({x^2} + \frac{1}{x^2}\)
= \(1^2 + \frac{1}{1^2}\)
= 1 + 1
= 2
\({x^3} - \frac{1}{{{x^3}}}\) = 0
বা, \({{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^3} + 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x}\left( {x - \frac{1}{x}} \right) = 0\) [ \(\because {a^3} - {b^3} = {\left( {a - b} \right)^3} + 3ab\left( {a - b} \right)\) সূত্র প্রয়োগ করে ]
বা, \({{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^3} + 3\left( {x - \frac{1}{x}} \right) = 0\)
বা, \(\left( {x - \frac{1}{x}} \right)\left\{ {{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2} + 3} \right\} = 0\)
হয়,
\(\left( {x - \frac{1}{x}} \right) = 0\)
বা, \(x = \frac{1}{x}\)
বা, \(x^2 = 1\) .........(i)
অথবা,
\({{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2} + 3} = 0\)
বা, \({{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2}} = -3\)
কিন্তু কোনো বাস্তব সংখ্যার বর্গ ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই এই মানটি গ্রহণযোগ্য নয়।
সুতরাং, সমীকরণটি সিদ্ধ হওয়ার জন্য \(x^2 = 1\) হতে হবে।
এখন আমাদের বের করতে বলা হয়েছে, \({x^{2\;}} + \frac{1}{{{x^{2\;}}}}\) এর মান।
(i) নং হতে \(x^2\) এর মান বসিয়ে পাই,
\({x^{2\;}} + \frac{1}{{{x^{2\;}}}}\)
= \(1 + \frac{1}{1}\)
= \(1 + 1\)
= 2
অতএব, \({x^{2\;}} + \frac{1}{{{x^{2\;}}}}\) এর মান 2 হলে \({x^3} - \frac{1}{{{x^3}}} = 0\) হবে।
শর্টকাট টেকনিক (পরীক্ষার জন্য):
আমরা জানি, যদি \(x - \frac{1}{x} = 0\) হয়, তবে \(x^3 - \frac{1}{x^3} = 0\) হবে।
কারণ, \(0^3 + 3(0) = 0\)।
যেহেতু \(x - \frac{1}{x} = 0\),
সেহেতু \(x = \frac{1}{x}\) বা \(x^2 = 1\) বা \(x = 1\) (বা -1)
এখন প্রদত্ত রাশিতে \(x = 1\) মানটি বসিয়ে পাই,
\({x^2} + \frac{1}{x^2}\)
= \(1^2 + \frac{1}{1^2}\)
= 1 + 1
= 2
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions