একটি রেখাংশের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র ঐ রেখাংশের এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের কত গুণ ?

মনে করি, রেখাংশটির দৈর্ঘ্য = $a$ একক
সুতরাং, রেখাংশটির উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $(a)^2$ বর্গ একক = $a^2$ বর্গ একক।

প্রশ্নানুসারে, রেখাংশটির এক-তৃতীয়াংশের দৈর্ঘ্য = $\frac{1}{3}a$ একক = $\frac{a}{3}$ একক
সুতরাং, এক-তৃতীয়াংশ রেখাংশের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $(\frac{a}{3})^2$ বর্গ একক = $\frac{a^2}{9}$ বর্গ একক।

এখন,
১ম বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল : ২য় বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
= $a^2$ : $\frac{a^2}{9}$
= $1$ : $\frac{1}{9}$ [উভয়পক্ষকে $a^2$ দ্বারা ভাগ করে]
= $9$ : $1$ [উভয়পক্ষকে $9$ দ্বারা গুণ করে]
অর্থাৎ, $a^2 = 9 \times \frac{a^2}{9}$
সুতরাং, রেখাংশের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র ঐ রেখাংশের এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ৯ গুণ।

শর্টকাট টেকনিক:
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য যদি কোনো সংখ্যার গুণিতক বা ভগ্নাংশ হয়, তবে ক্ষেত্রফল হবে সেই সংখ্যার বর্গের সমানুপাতিক।
এখানে বাহুর দৈর্ঘ্য এক-তৃতীয়াংশ $\frac{1}{3}$ অংশ।
যেহেতু ক্ষেত্রফলের তুলনা করতে বলা হয়েছে, তাই মূল রেখাংশের সাপেক্ষে ছোট অংশটির অনুপাত $\frac{1}{3}$।
সুতরাং ক্ষেত্রফলের অনুপাত হবে বর্গের উল্টো। অর্থাৎ, $(3)^2 = 9$ গুণ।
সরাসরি মনে রাখবেন:
রেখাংশ $n$ গুণ হলে, বর্গক্ষেত্র হবে $n^2$ গুণ।
রেখাংশ $\frac{1}{n}$ গুণ হলে, মূল বর্গক্ষেত্র ছোটটির $n^2$ গুণ হবে।
এখানে $n=3$, তাই উত্তর $3^2 = 9$ গুণ।