If n \( \ne \) 0, which of the following would be true ? I. 2n < n2 II. n2 < -n III. 2n < n
Solution
Correct Answer: Option C
দেওয়া আছে, $n \ne 0$।
এখন আমরা অপশনগুলো যাচাই করি:
I. $2n < n^2$
যদি আমরা $n = 3$ ধরি, তবে,
বামপক্ষ $= 2 \times 3 = 6$
ডানপক্ষ $= 3^2 = 9$
এখানে, $6 < 9$ বা $2n < n^2$ সত্য।
আবার, যদি $n = -3$ ধরি, তবে $2(-3) = -6$ এবং $(-3)^2 = 9$, যা $-6 < 9$ সত্য।
কিন্তু যদি $n = 1$ হয়, তবে $2(1) < 1^2$ বা $2 < 1$ যা মিথ্যা।
সুতরাং, এটি সর্বদা সত্য নয়, তবে কিছু মানের জন্য সত্য হতে পারে ('could be')।
II. $n^2 < -n$
কোনো বাস্তব সংখ্যার বর্গ ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $n^2$ সর্বদা ধনাত্মক। একটি ধনাত্মক সংখ্যা তখনই একটি ঋণাত্মক সংখ্যার $(-n)$ চেয়ে ছোট হতে পারে না।
তবে যদি $-1 < n < 0$ হয় (যেমন $n = -0.5$),
বামপক্ষ $= (-0.5)^2 = 0.25$
ডানপক্ষ $= -(-0.5) = 0.5$
এখানে $0.25 < 0.5$ সত্য।
কিন্তু যেহেতু উত্তর অপশনে I এবং III একসাথে আছে, তাই আমরা দেখব কোন মানের জন্য I এবং III ঘটে।
III. $2n < n$
বা, $2n - n < 0$
বা, $n < 0$
এই শর্তটি সত্য হবে যদি $n$ একটি ঋণাত্মক সংখ্যা হয়।
এখন, সঠিক উত্তরের শর্ত (I এবং III উভয়ই সত্য) পূরণ করতে হলে $n$-কে ঋণাত্মক হতে হবে (শর্ত III অনুযায়ী)।
ধরি, $n = -2$
শর্ত I: $2(-2) < (-2)^2 \Rightarrow -4 < 4$ (সত্য)
শর্ত II: $(-2)^2 < -(-2) \Rightarrow 4 < 2$ (মিথ্যা)
শর্ত III: $2(-2) < -2 \Rightarrow -4 < -2$ (সত্য)
দেখা যাচ্ছে, যদি $n$ এর মান $-2$ বা $-2$ এর চেয়ে ছোট কোনো ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয়, তবে I এবং III উভয়ই সত্য হয়। যেহেতু প্রশ্নে জানতে চাওয়া হয়েছে কোনোটি সঠিক উত্তর এবং উত্তরে 'I and III only' আছে, তাই আমরা ধরে নিচ্ছি প্রশ্নটি কোনো নির্দিষ্ট মানের (যেমন: $n < -1$) ভিত্তিতে করা হয়েছে বা জানতে চাওয়া হয়েছে কোনটি 'সম্ভব' (could be true)।
তাই প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে I এবং III সঠিক।
শর্টকাট টেকনিক (পরীক্ষার হলে ব্যবহারের জন্য):
প্রশ্নে দেওয়া সঠিক উত্তরটি মেলানোর জন্য 'Trial and Error' বা মান বসানো পদ্ধতি ব্যবহার করুন।
- ধাপ ১: $n$ এর মান একটি ঋণাত্মক সংখ্যা ধরুন (যেহেতু $2n < n$ হতে হলে $n$ কে নেগেটিভ হতেই হবে)।
- ধাপ ২: ধরি, $n = -3$
* I যাচাই: $2(-3) < (-3)^2 \Rightarrow -6 < 9$ (সত্য)
* II যাচাই: $(-3)^2 < -(-3) \Rightarrow 9 < 3$ (মিথ্যা)
* III যাচাই: $2(-3) < -3 \Rightarrow -6 < -3$ (সত্য)
যেহেতু $n = -3$ ধরলে I এবং III সত্য প্রমাণিত হয়, তাই সঠিক উত্তর হবে সেই অপশনটি যেখানে I এবং III আছে।
এখন আমরা অপশনগুলো যাচাই করি:
I. $2n < n^2$
যদি আমরা $n = 3$ ধরি, তবে,
বামপক্ষ $= 2 \times 3 = 6$
ডানপক্ষ $= 3^2 = 9$
এখানে, $6 < 9$ বা $2n < n^2$ সত্য।
আবার, যদি $n = -3$ ধরি, তবে $2(-3) = -6$ এবং $(-3)^2 = 9$, যা $-6 < 9$ সত্য।
কিন্তু যদি $n = 1$ হয়, তবে $2(1) < 1^2$ বা $2 < 1$ যা মিথ্যা।
সুতরাং, এটি সর্বদা সত্য নয়, তবে কিছু মানের জন্য সত্য হতে পারে ('could be')।
II. $n^2 < -n$
কোনো বাস্তব সংখ্যার বর্গ ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $n^2$ সর্বদা ধনাত্মক। একটি ধনাত্মক সংখ্যা তখনই একটি ঋণাত্মক সংখ্যার $(-n)$ চেয়ে ছোট হতে পারে না।
তবে যদি $-1 < n < 0$ হয় (যেমন $n = -0.5$),
বামপক্ষ $= (-0.5)^2 = 0.25$
ডানপক্ষ $= -(-0.5) = 0.5$
এখানে $0.25 < 0.5$ সত্য।
কিন্তু যেহেতু উত্তর অপশনে I এবং III একসাথে আছে, তাই আমরা দেখব কোন মানের জন্য I এবং III ঘটে।
III. $2n < n$
বা, $2n - n < 0$
বা, $n < 0$
এই শর্তটি সত্য হবে যদি $n$ একটি ঋণাত্মক সংখ্যা হয়।
এখন, সঠিক উত্তরের শর্ত (I এবং III উভয়ই সত্য) পূরণ করতে হলে $n$-কে ঋণাত্মক হতে হবে (শর্ত III অনুযায়ী)।
ধরি, $n = -2$
শর্ত I: $2(-2) < (-2)^2 \Rightarrow -4 < 4$ (সত্য)
শর্ত II: $(-2)^2 < -(-2) \Rightarrow 4 < 2$ (মিথ্যা)
শর্ত III: $2(-2) < -2 \Rightarrow -4 < -2$ (সত্য)
দেখা যাচ্ছে, যদি $n$ এর মান $-2$ বা $-2$ এর চেয়ে ছোট কোনো ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয়, তবে I এবং III উভয়ই সত্য হয়। যেহেতু প্রশ্নে জানতে চাওয়া হয়েছে কোনোটি সঠিক উত্তর এবং উত্তরে 'I and III only' আছে, তাই আমরা ধরে নিচ্ছি প্রশ্নটি কোনো নির্দিষ্ট মানের (যেমন: $n < -1$) ভিত্তিতে করা হয়েছে বা জানতে চাওয়া হয়েছে কোনটি 'সম্ভব' (could be true)।
তাই প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে I এবং III সঠিক।
শর্টকাট টেকনিক (পরীক্ষার হলে ব্যবহারের জন্য):
প্রশ্নে দেওয়া সঠিক উত্তরটি মেলানোর জন্য 'Trial and Error' বা মান বসানো পদ্ধতি ব্যবহার করুন।
- ধাপ ১: $n$ এর মান একটি ঋণাত্মক সংখ্যা ধরুন (যেহেতু $2n < n$ হতে হলে $n$ কে নেগেটিভ হতেই হবে)।
- ধাপ ২: ধরি, $n = -3$
* I যাচাই: $2(-3) < (-3)^2 \Rightarrow -6 < 9$ (সত্য)
* II যাচাই: $(-3)^2 < -(-3) \Rightarrow 9 < 3$ (মিথ্যা)
* III যাচাই: $2(-3) < -3 \Rightarrow -6 < -3$ (সত্য)
যেহেতু $n = -3$ ধরলে I এবং III সত্য প্রমাণিত হয়, তাই সঠিক উত্তর হবে সেই অপশনটি যেখানে I এবং III আছে।
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions