If n \( \ne \) 0, which of the following would be true ? I. 2n < n2 II. n2 < -n III. 2n < n
Solution
Correct Answer: Option C
দেওয়া আছে, $n \ne 0$।
এখন আমরা অপশনগুলো যাচাই করি:
I. $2n < n^2$
যদি আমরা $n = 3$ ধরি, তবে,
বামপক্ষ $= 2 \times 3 = 6$
ডানপক্ষ $= 3^2 = 9$
এখানে, $6 < 9$ বা $2n < n^2$ সত্য।
আবার, যদি $n = -3$ ধরি, তবে $2(-3) = -6$ এবং $(-3)^2 = 9$, যা $-6 < 9$ সত্য।
কিন্তু যদি $n = 1$ হয়, তবে $2(1) < 1^2$ বা $2 < 1$ যা মিথ্যা।
সুতরাং, এটি সর্বদা সত্য নয়, তবে কিছু মানের জন্য সত্য হতে পারে ('could be')।
II. $n^2 < -n$
কোনো বাস্তব সংখ্যার বর্গ ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $n^2$ সর্বদা ধনাত্মক। একটি ধনাত্মক সংখ্যা তখনই একটি ঋণাত্মক সংখ্যার $(-n)$ চেয়ে ছোট হতে পারে না।
তবে যদি $-1 < n < 0$ হয় (যেমন $n = -0.5$),
বামপক্ষ $= (-0.5)^2 = 0.25$
ডানপক্ষ $= -(-0.5) = 0.5$
এখানে $0.25 < 0.5$ সত্য।
কিন্তু যেহেতু উত্তর অপশনে I এবং III একসাথে আছে, তাই আমরা দেখব কোন মানের জন্য I এবং III ঘটে।
III. $2n < n$
বা, $2n - n < 0$
বা, $n < 0$
এই শর্তটি সত্য হবে যদি $n$ একটি ঋণাত্মক সংখ্যা হয়।
এখন, সঠিক উত্তরের শর্ত (I এবং III উভয়ই সত্য) পূরণ করতে হলে $n$-কে ঋণাত্মক হতে হবে (শর্ত III অনুযায়ী)।
ধরি, $n = -2$
শর্ত I: $2(-2) < (-2)^2 \Rightarrow -4 < 4$ (সত্য)
শর্ত II: $(-2)^2 < -(-2) \Rightarrow 4 < 2$ (মিথ্যা)
শর্ত III: $2(-2) < -2 \Rightarrow -4 < -2$ (সত্য)
দেখা যাচ্ছে, যদি $n$ এর মান $-2$ বা $-2$ এর চেয়ে ছোট কোনো ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয়, তবে I এবং III উভয়ই সত্য হয়। যেহেতু প্রশ্নে জানতে চাওয়া হয়েছে কোনোটি সঠিক উত্তর এবং উত্তরে 'I and III only' আছে, তাই আমরা ধরে নিচ্ছি প্রশ্নটি কোনো নির্দিষ্ট মানের (যেমন: $n < -1$) ভিত্তিতে করা হয়েছে বা জানতে চাওয়া হয়েছে কোনটি 'সম্ভব' (could be true)।
তাই প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে I এবং III সঠিক।
শর্টকাট টেকনিক (পরীক্ষার হলে ব্যবহারের জন্য):
প্রশ্নে দেওয়া সঠিক উত্তরটি মেলানোর জন্য 'Trial and Error' বা মান বসানো পদ্ধতি ব্যবহার করুন।
- ধাপ ১: $n$ এর মান একটি ঋণাত্মক সংখ্যা ধরুন (যেহেতু $2n < n$ হতে হলে $n$ কে নেগেটিভ হতেই হবে)।
- ধাপ ২: ধরি, $n = -3$
* I যাচাই: $2(-3) < (-3)^2 \Rightarrow -6 < 9$ (সত্য)
* II যাচাই: $(-3)^2 < -(-3) \Rightarrow 9 < 3$ (মিথ্যা)
* III যাচাই: $2(-3) < -3 \Rightarrow -6 < -3$ (সত্য)
যেহেতু $n = -3$ ধরলে I এবং III সত্য প্রমাণিত হয়, তাই সঠিক উত্তর হবে সেই অপশনটি যেখানে I এবং III আছে।
এখন আমরা অপশনগুলো যাচাই করি:
I. $2n < n^2$
যদি আমরা $n = 3$ ধরি, তবে,
বামপক্ষ $= 2 \times 3 = 6$
ডানপক্ষ $= 3^2 = 9$
এখানে, $6 < 9$ বা $2n < n^2$ সত্য।
আবার, যদি $n = -3$ ধরি, তবে $2(-3) = -6$ এবং $(-3)^2 = 9$, যা $-6 < 9$ সত্য।
কিন্তু যদি $n = 1$ হয়, তবে $2(1) < 1^2$ বা $2 < 1$ যা মিথ্যা।
সুতরাং, এটি সর্বদা সত্য নয়, তবে কিছু মানের জন্য সত্য হতে পারে ('could be')।
II. $n^2 < -n$
কোনো বাস্তব সংখ্যার বর্গ ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $n^2$ সর্বদা ধনাত্মক। একটি ধনাত্মক সংখ্যা তখনই একটি ঋণাত্মক সংখ্যার $(-n)$ চেয়ে ছোট হতে পারে না।
তবে যদি $-1 < n < 0$ হয় (যেমন $n = -0.5$),
বামপক্ষ $= (-0.5)^2 = 0.25$
ডানপক্ষ $= -(-0.5) = 0.5$
এখানে $0.25 < 0.5$ সত্য।
কিন্তু যেহেতু উত্তর অপশনে I এবং III একসাথে আছে, তাই আমরা দেখব কোন মানের জন্য I এবং III ঘটে।
III. $2n < n$
বা, $2n - n < 0$
বা, $n < 0$
এই শর্তটি সত্য হবে যদি $n$ একটি ঋণাত্মক সংখ্যা হয়।
এখন, সঠিক উত্তরের শর্ত (I এবং III উভয়ই সত্য) পূরণ করতে হলে $n$-কে ঋণাত্মক হতে হবে (শর্ত III অনুযায়ী)।
ধরি, $n = -2$
শর্ত I: $2(-2) < (-2)^2 \Rightarrow -4 < 4$ (সত্য)
শর্ত II: $(-2)^2 < -(-2) \Rightarrow 4 < 2$ (মিথ্যা)
শর্ত III: $2(-2) < -2 \Rightarrow -4 < -2$ (সত্য)
দেখা যাচ্ছে, যদি $n$ এর মান $-2$ বা $-2$ এর চেয়ে ছোট কোনো ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয়, তবে I এবং III উভয়ই সত্য হয়। যেহেতু প্রশ্নে জানতে চাওয়া হয়েছে কোনোটি সঠিক উত্তর এবং উত্তরে 'I and III only' আছে, তাই আমরা ধরে নিচ্ছি প্রশ্নটি কোনো নির্দিষ্ট মানের (যেমন: $n < -1$) ভিত্তিতে করা হয়েছে বা জানতে চাওয়া হয়েছে কোনটি 'সম্ভব' (could be true)।
তাই প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে I এবং III সঠিক।
শর্টকাট টেকনিক (পরীক্ষার হলে ব্যবহারের জন্য):
প্রশ্নে দেওয়া সঠিক উত্তরটি মেলানোর জন্য 'Trial and Error' বা মান বসানো পদ্ধতি ব্যবহার করুন।
- ধাপ ১: $n$ এর মান একটি ঋণাত্মক সংখ্যা ধরুন (যেহেতু $2n < n$ হতে হলে $n$ কে নেগেটিভ হতেই হবে)।
- ধাপ ২: ধরি, $n = -3$
* I যাচাই: $2(-3) < (-3)^2 \Rightarrow -6 < 9$ (সত্য)
* II যাচাই: $(-3)^2 < -(-3) \Rightarrow 9 < 3$ (মিথ্যা)
* III যাচাই: $2(-3) < -3 \Rightarrow -6 < -3$ (সত্য)
যেহেতু $n = -3$ ধরলে I এবং III সত্য প্রমাণিত হয়, তাই সঠিক উত্তর হবে সেই অপশনটি যেখানে I এবং III আছে।
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
পরীক্ষা – ৭৯
কোর্স নামঃ
প্রাইমারি প্রধান শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি (২য় ব্যাচ)
টপিকসঃ
আন্তর্জাতিক বিষয়াবলী সম্পূর্ণ সিলেবাস (১০০ মার্ক)
৫ ফেব্রুয়ারি থেকে শুরু।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা-৫৪
কোর্স নামঃ
৫১ তম বিসিএস প্রস্ততি - ২৩৬ দিনে সম্পূর্ণ সিলিবাস।
টপিকসঃ
বাংলা সাহিত্য
খুব গুরুত্বপূর্ণঃ কাজী নজরুল ইসলাম।
গুরুত্বপূর্ণঃ মানিক বন্দ্যোপাধ্যায়, এস. ওয়াজেদ আলি, কায়কোবাদ, কাজী ইমদাদুল হক, কাজী আবদুল ওদুদ, জহির রায়হান, জাহানারা ইমাম, দ্বিজেন্দ্রলাল রায়, নির্মলেন্দু গুণ, নুরুল মোমেন, প্যারীচাঁদ মিত্র,।
কম গুরুত্বপূর্ণঃ আবুল হাসান, আসাদ চৌধুরী, আরজ আলী মাতুব্বর, আশরাফ সিদ্দিকী, আহমদ ছফা, ড. আহমদ শরীফ, আহসান হাবীব, আহমদ রফিক, ইব্রাহীম খাঁ, ঈশ্বরচন্দ্র গুপ্ত, উইলিয়াম কেরি, এম. আর. আখতার মুকুল, কাঙাল হরিনাথ, কাজী মোতাহার হোসেন, কামিনী রায়, কালিদাস রায়, কালীপ্রসন্ন ঘোষ, কালীপ্রসন্ন।
খুব গুরুত্বপূর্ণঃ কাজী নজরুল ইসলাম।
গুরুত্বপূর্ণঃ মানিক বন্দ্যোপাধ্যায়, এস. ওয়াজেদ আলি, কায়কোবাদ, কাজী ইমদাদুল হক, কাজী আবদুল ওদুদ, জহির রায়হান, জাহানারা ইমাম, দ্বিজেন্দ্রলাল রায়, নির্মলেন্দু গুণ, নুরুল মোমেন, প্যারীচাঁদ মিত্র,।
কম গুরুত্বপূর্ণঃ আবুল হাসান, আসাদ চৌধুরী, আরজ আলী মাতুব্বর, আশরাফ সিদ্দিকী, আহমদ ছফা, ড. আহমদ শরীফ, আহসান হাবীব, আহমদ রফিক, ইব্রাহীম খাঁ, ঈশ্বরচন্দ্র গুপ্ত, উইলিয়াম কেরি, এম. আর. আখতার মুকুল, কাঙাল হরিনাথ, কাজী মোতাহার হোসেন, কামিনী রায়, কালিদাস রায়, কালীপ্রসন্ন ঘোষ, কালীপ্রসন্ন।
১০ ফেব্রুয়ারি, ২০২৬
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions