x3 = 24-15√3 হলে x2 +1/x2 এর মান কত?
Solution
Correct Answer: Option C
দেওয়া আছে,
x3 = 24 - 15√3
বা, x3 = 30 + 15√3 - 6 - 30√3 [এই অংশটি জটিল। আমাদের ডানপক্ষকে (a-b)³ আকারে সাজাতে হবে।]
এখানে আমাদের লক্ষ্য হলো, ডানপক্ষকে কিছু একটা ঘনফল (cube) আকারে প্রকাশ করা যাতে উভয় পক্ষ থেকে ঘন (cube) বাদ দেওয়া যায়।
সাধারণত, a - b√3 আকারে থাকলে আমরা (a - √3)3 বা এমন আকারে চিন্তা করি।
সহজ উপায়ে ভাবলে, যদি আমরা x = a - √3 ধরি এবং দেখি মেলে কিনা:
(2 - √3)3 = 23 - 3⋅22⋅√3 + 3⋅2⋅(√3)2 - (√3)3
= 8 - 12√3 + 18 - 3√3
= 26 - 15√3
এটি মূল প্রশ্নের সাথে (24-15√3) মিলছে না।
আসলে এই প্রশ্নটিতে একটি প্রিন্টিং মিস্টেক বা টাইপিং ভুল থাকার সম্ভাবনা প্রবল। সাধারণত প্রশ্নটি হয় x3 = 26 - 15√3। তাহলে x = 2 - √3 হয়। অথবা x = 2 - √3 হলে x2 + 1/x2 = 14 হয়।
যেহেতু উত্তর 14 বলা হয়েছে, তাই অবশ্যই x এর মান (2 - √3) আসবে।
ধরে নেই, সঠিক সমীকরণটি থেকে আমরা পাই,
x = 2 - √3
অতএব, 1/x = 1/(2 - √3)
লব ও হরকে (2 + √3) দ্বারা গুণ করে পাই,
= (2 + √3) / {(2 - √3)(2 + √3)}
= (2 + √3) / (22 - (√3)2)
= (2 + √3) / (4 - 3)
= 2 + √3
এখন,
x + 1/x = (2 - √3) + (2 + √3)
= 4
প্রদত্ত রাশি,
x2 + 1/x2
= (x + 1/x)2 - 2⋅x⋅(1/x) [সূত্র: a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab]
= (4)2 - 2
= 16 - 2
= 14
বিকল্প বা শর্টকাট টেকনিক:
সাধারণত এই ধরনের অংকে x এর মান a ± √b আকারে আসে।
যদি দেখেন উত্তরে 14 আছে এবং রাশিটি বর্গের যোগফল (sqaure sum), তবে মনে রাখবেন x + 1/x এর মান অবশ্যই 4 হতে হবে। কারণ 42 - 2 = 14।
আবার x + 1/x = 4 হতে হলে x এর মান সাধারনত (2 ± √3) হয়।
যদি প্রশ্নের ফরম্যাট x3 = ... বা x = ... থাকে এবং উত্তর 14 এর আশেপাশে হয়, তবে অধিকাংশ ক্ষেত্রে x + 1/x = 4 ধরে নিয়ে দ্রুত সমাধান করা যায়।
শর্টকাট সূত্র: x + 1/x = n হলে, x2 + 1/x2 = n2 - 2.
এখানে n = 4, তাই 42 - 2 = 14.
x3 = 24 - 15√3
বা, x3 = 30 + 15√3 - 6 - 30√3 [এই অংশটি জটিল। আমাদের ডানপক্ষকে (a-b)³ আকারে সাজাতে হবে।]
এখানে আমাদের লক্ষ্য হলো, ডানপক্ষকে কিছু একটা ঘনফল (cube) আকারে প্রকাশ করা যাতে উভয় পক্ষ থেকে ঘন (cube) বাদ দেওয়া যায়।
সাধারণত, a - b√3 আকারে থাকলে আমরা (a - √3)3 বা এমন আকারে চিন্তা করি।
সহজ উপায়ে ভাবলে, যদি আমরা x = a - √3 ধরি এবং দেখি মেলে কিনা:
(2 - √3)3 = 23 - 3⋅22⋅√3 + 3⋅2⋅(√3)2 - (√3)3
= 8 - 12√3 + 18 - 3√3
= 26 - 15√3
এটি মূল প্রশ্নের সাথে (24-15√3) মিলছে না।
আসলে এই প্রশ্নটিতে একটি প্রিন্টিং মিস্টেক বা টাইপিং ভুল থাকার সম্ভাবনা প্রবল। সাধারণত প্রশ্নটি হয় x3 = 26 - 15√3। তাহলে x = 2 - √3 হয়। অথবা x = 2 - √3 হলে x2 + 1/x2 = 14 হয়।
যেহেতু উত্তর 14 বলা হয়েছে, তাই অবশ্যই x এর মান (2 - √3) আসবে।
ধরে নেই, সঠিক সমীকরণটি থেকে আমরা পাই,
x = 2 - √3
অতএব, 1/x = 1/(2 - √3)
লব ও হরকে (2 + √3) দ্বারা গুণ করে পাই,
= (2 + √3) / {(2 - √3)(2 + √3)}
= (2 + √3) / (22 - (√3)2)
= (2 + √3) / (4 - 3)
= 2 + √3
এখন,
x + 1/x = (2 - √3) + (2 + √3)
= 4
প্রদত্ত রাশি,
x2 + 1/x2
= (x + 1/x)2 - 2⋅x⋅(1/x) [সূত্র: a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab]
= (4)2 - 2
= 16 - 2
= 14
বিকল্প বা শর্টকাট টেকনিক:
সাধারণত এই ধরনের অংকে x এর মান a ± √b আকারে আসে।
যদি দেখেন উত্তরে 14 আছে এবং রাশিটি বর্গের যোগফল (sqaure sum), তবে মনে রাখবেন x + 1/x এর মান অবশ্যই 4 হতে হবে। কারণ 42 - 2 = 14।
আবার x + 1/x = 4 হতে হলে x এর মান সাধারনত (2 ± √3) হয়।
যদি প্রশ্নের ফরম্যাট x3 = ... বা x = ... থাকে এবং উত্তর 14 এর আশেপাশে হয়, তবে অধিকাংশ ক্ষেত্রে x + 1/x = 4 ধরে নিয়ে দ্রুত সমাধান করা যায়।
শর্টকাট সূত্র: x + 1/x = n হলে, x2 + 1/x2 = n2 - 2.
এখানে n = 4, তাই 42 - 2 = 14.
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
পরীক্ষা – ৭৯
কোর্স নামঃ
প্রাইমারি প্রধান শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি (২য় ব্যাচ)
টপিকসঃ
আন্তর্জাতিক বিষয়াবলী সম্পূর্ণ সিলেবাস (১০০ মার্ক)
৫ ফেব্রুয়ারি থেকে শুরু।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা-৫৪
কোর্স নামঃ
৫১ তম বিসিএস প্রস্ততি - ২৩৬ দিনে সম্পূর্ণ সিলিবাস।
টপিকসঃ
বাংলা সাহিত্য
খুব গুরুত্বপূর্ণঃ কাজী নজরুল ইসলাম।
গুরুত্বপূর্ণঃ মানিক বন্দ্যোপাধ্যায়, এস. ওয়াজেদ আলি, কায়কোবাদ, কাজী ইমদাদুল হক, কাজী আবদুল ওদুদ, জহির রায়হান, জাহানারা ইমাম, দ্বিজেন্দ্রলাল রায়, নির্মলেন্দু গুণ, নুরুল মোমেন, প্যারীচাঁদ মিত্র,।
কম গুরুত্বপূর্ণঃ আবুল হাসান, আসাদ চৌধুরী, আরজ আলী মাতুব্বর, আশরাফ সিদ্দিকী, আহমদ ছফা, ড. আহমদ শরীফ, আহসান হাবীব, আহমদ রফিক, ইব্রাহীম খাঁ, ঈশ্বরচন্দ্র গুপ্ত, উইলিয়াম কেরি, এম. আর. আখতার মুকুল, কাঙাল হরিনাথ, কাজী মোতাহার হোসেন, কামিনী রায়, কালিদাস রায়, কালীপ্রসন্ন ঘোষ, কালীপ্রসন্ন।
খুব গুরুত্বপূর্ণঃ কাজী নজরুল ইসলাম।
গুরুত্বপূর্ণঃ মানিক বন্দ্যোপাধ্যায়, এস. ওয়াজেদ আলি, কায়কোবাদ, কাজী ইমদাদুল হক, কাজী আবদুল ওদুদ, জহির রায়হান, জাহানারা ইমাম, দ্বিজেন্দ্রলাল রায়, নির্মলেন্দু গুণ, নুরুল মোমেন, প্যারীচাঁদ মিত্র,।
কম গুরুত্বপূর্ণঃ আবুল হাসান, আসাদ চৌধুরী, আরজ আলী মাতুব্বর, আশরাফ সিদ্দিকী, আহমদ ছফা, ড. আহমদ শরীফ, আহসান হাবীব, আহমদ রফিক, ইব্রাহীম খাঁ, ঈশ্বরচন্দ্র গুপ্ত, উইলিয়াম কেরি, এম. আর. আখতার মুকুল, কাঙাল হরিনাথ, কাজী মোতাহার হোসেন, কামিনী রায়, কালিদাস রায়, কালীপ্রসন্ন ঘোষ, কালীপ্রসন্ন।
১০ ফেব্রুয়ারি, ২০২৬
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions