ত্রিভুজ ABC এর BC বাহুতে E ও F এমনভাবে অবস্থিত যেন, BE = EF = CF হয়। AEC এর ক্ষেত্রফল ৪৮ বর্গফুট হলে, ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফল কত বর্গফুট?
Solution
Correct Answer: Option A
আমরা জানি,
ত্রিভুজের উচ্চতা একই হলে তাদের ক্ষেত্রফল ভূমির সমানুপাতিক হয়। অর্থাৎ, একই উচ্চতাবিশিষ্ট দুটি ত্রিভুজের ভূমির অনুপাত তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাতের সমান।
এখানে, $\triangle ABC$ এর ভূমি $BC$ এর ওপর দুটি বিন্দু $E$ ও $F$ এবং শীর্ষবিন্দু $A$।
সুতরাং, $\triangle ABE$, $\triangle AEF$, এবং $\triangle AFC$ - এই তিনটি ত্রিভুজেরই উচ্চতা একই (শীর্ষবিন্দু $A$ থেকে ভূমি $BC$ এর ওপর অঙ্কিত লম্ব)।
প্রশ্নমতে, $BE = EF = CF$
দেওয়া আছে, $\triangle AEC = ৪৮$ বর্গফুট।
চিত্রানুযায়ী, $\triangle AEC$ গঠিত হয়েছে $\triangle AEF$ এবং $\triangle AFC$ নিয়ে।
যেহেতু $EF = CF$, তাই $\triangle AEF$ এর ক্ষেত্রফল = $\triangle AFC$ এর ক্ষেত্রফল।
সুতরাং,
$\triangle AEF$ এর ক্ষেত্রফল + $\triangle AFC$ এর ক্ষেত্রফল = $\triangle AEC$ এর ক্ষেত্রফল
বা, $\triangle AEF$ + $\triangle AEF$ = $৪৮$ [∵ $EF = CF$ হওয়ায় ক্ষেত্রফল সমান]
বা, $২ \times \triangle AEF$ এর ক্ষেত্রফল = $৪৮$
বা, $\triangle AEF$ এর ক্ষেত্রফল = $৪৮ / ২ = ২৪$ বর্গফুট।
যেহেতু $BE = EF = CF$, তাই প্রত্যেকটি ছোট ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সমান।
অর্থাৎ, $\triangle ABE$ এর ক্ষেত্রফল = $\triangle AEF$ এর ক্ষেত্রফল = $\triangle AFC$ এর ক্ষেত্রফল = $২৪$ বর্গফুট।
এখন, $\triangle ABC$ এর ক্ষেত্রফল বের করতে হবে।
$\triangle ABC$ গঠিত হয়েছে তিনটি ত্রিভুজ নিয়ে: $\triangle ABE$, $\triangle AEF$ এবং $\triangle AFC$।
অতএব, $\triangle ABC$ এর ক্ষেত্রফল
= $\triangle ABE$ + $\triangle AEF$ + $\triangle AFC$
= $২৪ + ২৪ + ২৪$
= $৭২$ বর্গফুট।
সুতরাং, $\triangle ABC$ এর ক্ষেত্রফল $৭২$ বর্গফুট।
শর্টকাট টেকনিক:
প্রশ্নে বলা হয়েছে, $BE = EF = CF$। তার মানে ভূমি $BC$ সমান ৩ ভাগে বিভক্ত হয়েছে।
সুতরাং মূল ত্রিভুজটি সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট ৩টি ছোট ত্রিভুজে বিভক্ত হবে।
এখানে $\triangle AEC$ গঠিত হয়েছে ২ ভাগ ভূমি ($EF + FC$) নিয়ে।
২ ভাগের ক্ষেত্রফল = $৪৮$ র্বগফুট
∴ ১ ভাগের ক্ষেত্রফল = $৪৮ / ২ = ২৪$ বর্গফুট
$\triangle ABC$ সম্পূর্ণ ত্রিভুজটি ৩ ভাগ নিয়ে গঠিত।
∴ ৩ ভাগের ক্ষেত্রফল = $২৪ \times ৩ = ৭২$ বর্গফুট।
ত্রিভুজের উচ্চতা একই হলে তাদের ক্ষেত্রফল ভূমির সমানুপাতিক হয়। অর্থাৎ, একই উচ্চতাবিশিষ্ট দুটি ত্রিভুজের ভূমির অনুপাত তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাতের সমান।
এখানে, $\triangle ABC$ এর ভূমি $BC$ এর ওপর দুটি বিন্দু $E$ ও $F$ এবং শীর্ষবিন্দু $A$।
সুতরাং, $\triangle ABE$, $\triangle AEF$, এবং $\triangle AFC$ - এই তিনটি ত্রিভুজেরই উচ্চতা একই (শীর্ষবিন্দু $A$ থেকে ভূমি $BC$ এর ওপর অঙ্কিত লম্ব)।
প্রশ্নমতে, $BE = EF = CF$
দেওয়া আছে, $\triangle AEC = ৪৮$ বর্গফুট।
চিত্রানুযায়ী, $\triangle AEC$ গঠিত হয়েছে $\triangle AEF$ এবং $\triangle AFC$ নিয়ে।
যেহেতু $EF = CF$, তাই $\triangle AEF$ এর ক্ষেত্রফল = $\triangle AFC$ এর ক্ষেত্রফল।
সুতরাং,
$\triangle AEF$ এর ক্ষেত্রফল + $\triangle AFC$ এর ক্ষেত্রফল = $\triangle AEC$ এর ক্ষেত্রফল
বা, $\triangle AEF$ + $\triangle AEF$ = $৪৮$ [∵ $EF = CF$ হওয়ায় ক্ষেত্রফল সমান]
বা, $২ \times \triangle AEF$ এর ক্ষেত্রফল = $৪৮$
বা, $\triangle AEF$ এর ক্ষেত্রফল = $৪৮ / ২ = ২৪$ বর্গফুট।
যেহেতু $BE = EF = CF$, তাই প্রত্যেকটি ছোট ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সমান।
অর্থাৎ, $\triangle ABE$ এর ক্ষেত্রফল = $\triangle AEF$ এর ক্ষেত্রফল = $\triangle AFC$ এর ক্ষেত্রফল = $২৪$ বর্গফুট।
এখন, $\triangle ABC$ এর ক্ষেত্রফল বের করতে হবে।
$\triangle ABC$ গঠিত হয়েছে তিনটি ত্রিভুজ নিয়ে: $\triangle ABE$, $\triangle AEF$ এবং $\triangle AFC$।
অতএব, $\triangle ABC$ এর ক্ষেত্রফল
= $\triangle ABE$ + $\triangle AEF$ + $\triangle AFC$
= $২৪ + ২৪ + ২৪$
= $৭২$ বর্গফুট।
সুতরাং, $\triangle ABC$ এর ক্ষেত্রফল $৭২$ বর্গফুট।
শর্টকাট টেকনিক:
প্রশ্নে বলা হয়েছে, $BE = EF = CF$। তার মানে ভূমি $BC$ সমান ৩ ভাগে বিভক্ত হয়েছে।
সুতরাং মূল ত্রিভুজটি সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট ৩টি ছোট ত্রিভুজে বিভক্ত হবে।
এখানে $\triangle AEC$ গঠিত হয়েছে ২ ভাগ ভূমি ($EF + FC$) নিয়ে।
২ ভাগের ক্ষেত্রফল = $৪৮$ র্বগফুট
∴ ১ ভাগের ক্ষেত্রফল = $৪৮ / ২ = ২৪$ বর্গফুট
$\triangle ABC$ সম্পূর্ণ ত্রিভুজটি ৩ ভাগ নিয়ে গঠিত।
∴ ৩ ভাগের ক্ষেত্রফল = $২৪ \times ৩ = ৭২$ বর্গফুট।
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions