ত্রিভুজ ABC এর BC বাহুতে E ও F এমনভাবে অবস্থিত যেন, BE = EF = CF হয়। AEC এর ক্ষেত্রফল ৪৮ বর্গফুট হলে, ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফল কত বর্গফুট?

আমরা জানি,
ত্রিভুজের উচ্চতা একই হলে তাদের ক্ষেত্রফল ভূমির সমানুপাতিক হয়। অর্থাৎ, একই উচ্চতাবিশিষ্ট দুটি ত্রিভুজের ভূমির অনুপাত তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাতের সমান।

এখানে, $\triangle ABC$ এর ভূমি $BC$ এর ওপর দুটি বিন্দু $E$ ও $F$ এবং শীর্ষবিন্দু $A$।
সুতরাং, $\triangle ABE$, $\triangle AEF$, এবং $\triangle AFC$ - এই তিনটি ত্রিভুজেরই উচ্চতা একই (শীর্ষবিন্দু $A$ থেকে ভূমি $BC$ এর ওপর অঙ্কিত লম্ব)।

প্রশ্নমতে, $BE = EF = CF$
দেওয়া আছে, $\triangle AEC = ৪৮$ বর্গফুট।
চিত্রানুযায়ী, $\triangle AEC$ গঠিত হয়েছে $\triangle AEF$ এবং $\triangle AFC$ নিয়ে।
যেহেতু $EF = CF$, তাই $\triangle AEF$ এর ক্ষেত্রফল = $\triangle AFC$ এর ক্ষেত্রফল।

সুতরাং,
$\triangle AEF$ এর ক্ষেত্রফল + $\triangle AFC$ এর ক্ষেত্রফল = $\triangle AEC$ এর ক্ষেত্রফল
বা, $\triangle AEF$ + $\triangle AEF$ = $৪৮$ [∵ $EF = CF$ হওয়ায় ক্ষেত্রফল সমান]
বা, $২ \times \triangle AEF$ এর ক্ষেত্রফল = $৪৮$
বা, $\triangle AEF$ এর ক্ষেত্রফল = $৪৮ / ২ = ২৪$ বর্গফুট।

যেহেতু $BE = EF = CF$, তাই প্রত্যেকটি ছোট ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সমান।
অর্থাৎ, $\triangle ABE$ এর ক্ষেত্রফল = $\triangle AEF$ এর ক্ষেত্রফল = $\triangle AFC$ এর ক্ষেত্রফল = $২৪$ বর্গফুট।

এখন, $\triangle ABC$ এর ক্ষেত্রফল বের করতে হবে।
$\triangle ABC$ গঠিত হয়েছে তিনটি ত্রিভুজ নিয়ে: $\triangle ABE$, $\triangle AEF$ এবং $\triangle AFC$।

অতএব, $\triangle ABC$ এর ক্ষেত্রফল
= $\triangle ABE$ + $\triangle AEF$ + $\triangle AFC$
= $২৪ + ২৪ + ২৪$
= $৭২$ বর্গফুট।
সুতরাং, $\triangle ABC$ এর ক্ষেত্রফল $৭২$ বর্গফুট।

শর্টকাট টেকনিক:
প্রশ্নে বলা হয়েছে, $BE = EF = CF$। তার মানে ভূমি $BC$ সমান ৩ ভাগে বিভক্ত হয়েছে।
সুতরাং মূল ত্রিভুজটি সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট ৩টি ছোট ত্রিভুজে বিভক্ত হবে।

এখানে $\triangle AEC$ গঠিত হয়েছে ২ ভাগ ভূমি ($EF + FC$) নিয়ে।
২ ভাগের ক্ষেত্রফল = $৪৮$ র্বগফুট
∴ ১ ভাগের ক্ষেত্রফল = $৪৮ / ২ = ২৪$ বর্গফুট

$\triangle ABC$ সম্পূর্ণ ত্রিভুজটি ৩ ভাগ নিয়ে গঠিত।
∴ ৩ ভাগের ক্ষেত্রফল = $২৪ \times ৩ = ৭২$ বর্গফুট।