(২৪)^৫ কে নূন্যতম কত দ্বারা গুণ করলে গুণফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?
Solution
Correct Answer: Option C
আমরা জানি, একটি সংখ্যা পূর্ণবর্গ হতে হলে তার উৎপাদকগুলোর ঘাত বা পাওয়ার (power) জোড় সংখ্যা হতে হবে।
প্রদত্ত রাশি = $(24)^5$
প্রথমে ২৪ কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি:
$24 = 2 \times 12$
$= 2 \times 2 \times 6$
$= 2 \times 2 \times 2 \times 3$
$= 2^3 \times 3^1$
এখন, $(24)^5$ রাশিতে মান বসিয়ে পাই,
$(24)^5 = (2^3 \times 3^1)^5$
$= 2^{(3 \times 5)} \times 3^{(1 \times 5)}$
$= 2^{15} \times 3^5$
পূর্ণবর্গ সংখ্যার শর্ত অনুযায়ী, উৎপাদকের ঘাতগুলো জোড় হতে হবে। এখানে,
২ এর ঘাত ১৫ (বিজোড়)
৩ এর ঘাত ৫ (বিজোড়)
পাওয়ার বা ঘাতকে জোড় বানাতে হলে আমাদের আরও একটি করে ২ এবং ৩ গুণ করতে হবে।
অর্থাৎ,
২ এর জন্য প্রয়োজন: $2^1$
৩ এর জন্য প্রয়োজন: $3^1$
সুতরাং, নূন্যতম যে সংখ্যাটি দ্বারা গুণ করতে হবে তা হলো:
$= 2^1 \times 3^1$
$= 2 \times 3$
$= 6$
অতএব, $(24)^5$ কে নূন্যতম ৬ দ্বারা গুণ করলে গুণফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।
বিকল্প পদ্ধতি (শর্টকাট টেকনিক):
পূর্ণবর্গ হওয়ার জন্য পাওয়ার বা ঘাত সবসময় জোড় হতে হয়।
এখানে রাশিটি হলো $(24)^5$।
পাওয়ার ৫ হলো একটি বিজোড় সংখ্যা। একে জোড় সংখ্যা ৬ বানাতে হলে বা পাওয়ারকে জোড় করতে হলে বেস বা ভিত্তি (২৪) দিয়ে একবার গুণ করতে হবে।
সহজ কথায়, $(x)^{\text{বিজোড়}}$ কে পূর্ণবর্গ করতে হলে $x$ দ্বারা গুণ করতে হয়।
সুতরাং, $(24)^5$ কে পূর্ণবর্গ করতে ২৪ দ্বারা গুণ করতে হবে। কিন্তু প্রশ্নে চেয়েছে "নূন্যতম" কত দ্বারা গুণ করতে হবে। তাই ২৪ এর এমন উৎপাদক খুঁজতে হবে যা পূর্ণবর্গ নয়।
২৪ কে ভাঙলে পাই:
$24 = 4 \times 6$
এখানে ৪ একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা ($2^2$), কিন্তু ৬ পূর্ণবর্গ নয়।
তাই ২৪ এর পূর্ণবর্গ অংশটি (৪) বাদ দিয়ে বাকি অংশটিই (৬) হবে উত্তর।
উত্তর: ৬
প্রদত্ত রাশি = $(24)^5$
প্রথমে ২৪ কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি:
$24 = 2 \times 12$
$= 2 \times 2 \times 6$
$= 2 \times 2 \times 2 \times 3$
$= 2^3 \times 3^1$
এখন, $(24)^5$ রাশিতে মান বসিয়ে পাই,
$(24)^5 = (2^3 \times 3^1)^5$
$= 2^{(3 \times 5)} \times 3^{(1 \times 5)}$
$= 2^{15} \times 3^5$
পূর্ণবর্গ সংখ্যার শর্ত অনুযায়ী, উৎপাদকের ঘাতগুলো জোড় হতে হবে। এখানে,
২ এর ঘাত ১৫ (বিজোড়)
৩ এর ঘাত ৫ (বিজোড়)
পাওয়ার বা ঘাতকে জোড় বানাতে হলে আমাদের আরও একটি করে ২ এবং ৩ গুণ করতে হবে।
অর্থাৎ,
২ এর জন্য প্রয়োজন: $2^1$
৩ এর জন্য প্রয়োজন: $3^1$
সুতরাং, নূন্যতম যে সংখ্যাটি দ্বারা গুণ করতে হবে তা হলো:
$= 2^1 \times 3^1$
$= 2 \times 3$
$= 6$
অতএব, $(24)^5$ কে নূন্যতম ৬ দ্বারা গুণ করলে গুণফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।
বিকল্প পদ্ধতি (শর্টকাট টেকনিক):
পূর্ণবর্গ হওয়ার জন্য পাওয়ার বা ঘাত সবসময় জোড় হতে হয়।
এখানে রাশিটি হলো $(24)^5$।
পাওয়ার ৫ হলো একটি বিজোড় সংখ্যা। একে জোড় সংখ্যা ৬ বানাতে হলে বা পাওয়ারকে জোড় করতে হলে বেস বা ভিত্তি (২৪) দিয়ে একবার গুণ করতে হবে।
সহজ কথায়, $(x)^{\text{বিজোড়}}$ কে পূর্ণবর্গ করতে হলে $x$ দ্বারা গুণ করতে হয়।
সুতরাং, $(24)^5$ কে পূর্ণবর্গ করতে ২৪ দ্বারা গুণ করতে হবে। কিন্তু প্রশ্নে চেয়েছে "নূন্যতম" কত দ্বারা গুণ করতে হবে। তাই ২৪ এর এমন উৎপাদক খুঁজতে হবে যা পূর্ণবর্গ নয়।
২৪ কে ভাঙলে পাই:
$24 = 4 \times 6$
এখানে ৪ একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা ($2^2$), কিন্তু ৬ পূর্ণবর্গ নয়।
তাই ২৪ এর পূর্ণবর্গ অংশটি (৪) বাদ দিয়ে বাকি অংশটিই (৬) হবে উত্তর।
উত্তর: ৬
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
পরীক্ষা – ১১২
কোর্স নামঃ
১৯ তম শিক্ষক নিবন্ধন - লেকচারশীট ভিত্তিক।
টপিকসঃ
সাধারণ জ্ঞান – বাংলাদেশ
বাংলাদেশের জাতিগোষ্ঠী ও উপজাতি সংক্রান্ত বিষয়াদি ষষ্ঠ জনশুমারি ও গৃহগণনা ২০২২। বাংলাদেশের খেলাধুলা বাংলাদেশের কৃষ্টি ও সংস্কৃতি বাংলার সংগীত
বাংলাদেশের জাতিগোষ্ঠী ও উপজাতি সংক্রান্ত বিষয়াদি ষষ্ঠ জনশুমারি ও গৃহগণনা ২০২২। বাংলাদেশের খেলাধুলা বাংলাদেশের কৃষ্টি ও সংস্কৃতি বাংলার সংগীত
পরীক্ষা শুরুঃ ৩য় ব্যাচ শুরু ৫ নভেম্বর, ২০২৫।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা – ৩৮
কোর্স নামঃ
প্রাইমারি প্রধান শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি (২য় ব্যাচ)
টপিকসঃ
বাংলা: বানান
ইংরেজি: Literary Terms
গণিত: স্থানাঙ্ক জ্যামিতি, সমস্যা সমাধান
সাধারণ জ্ঞান: শিল্প-বাণিজ্য
ইংরেজি: Literary Terms
গণিত: স্থানাঙ্ক জ্যামিতি, সমস্যা সমাধান
সাধারণ জ্ঞান: শিল্প-বাণিজ্য
৫ ফেব্রুয়ারি থেকে শুরু।
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions