'MILLENNIUM' শব্দটির অক্ষরগুলি কত প্রকারে সাজানো যায়? এদের মধ্যে কতগুলিতে প্রথমে এবং শেষে M থাকবে?

প্রথম অংশ: 'MILLENNIUM' শব্দটির অক্ষরগুলি কত প্রকারে সাজানো যায়?

'MILLENNIUM' শব্দটিতে মোট ১০টি অক্ষর আছে।

এদের মধ্যে পুনরাবৃত্ত অক্ষরগুলো হলো:

• M আছে ২ বার

• I আছে ২ বার

• L আছে ২ বার

• N আছে ২ বার

• E আছে ১ বার

• U আছে ১ বার

পুনরাবৃত্তিসহ বিন্যাসের সূত্রটি হলো: n! / (p! * q! * r! ...), যেখানে n হলো মোট অক্ষরের সংখ্যা এবং p, q, r ইত্যাদি হলো প্রতিটি পুনরাবৃত্ত অক্ষরের সংখ্যা।

এই সূত্র অনুযায়ী, মোট বিন্যাস সংখ্যা হবে:
= ১০! / (২! × ২! × ২! × ২!)
= (১০ × ৯ × ৮ × ৭ × ৬ × ৫ × ৪ × ৩ × ২ × ১) / ((২ × ১) × (২ × ১) × (২ × ১) × (২ × ১))
= ৩৬২৮৮০০ / (২ × ২ × ২ × ২)
= ৩৬২৮৮০০ / ১৬
= ২২৬৮০০

সুতরাং, 'MILLENNIUM' শব্দটির অক্ষরগুলিকে মোট ২২৬,৮০০ প্রকারে সাজানো যায়।

দ্বিতীয় অংশ: এদের মধ্যে কতগুলিতে প্রথমে এবং শেষে M থাকবে?

এই ক্ষেত্রে, দুটি 'M' অক্ষরের স্থান নির্দিষ্ট করে দেওয়া হয়েছে—একটি শুরুতে এবং অন্যটি শেষে।

M _ _ _ _ _ _ _ _ M

এখন আমাদের কাজ হলো বাকি ৮টি অক্ষরকে মাঝখানের ৮টি শূন্যস্থানে সাজানো।

দুটি 'M' বাদ দেওয়ার পর অবশিষ্ট অক্ষরগুলি হলো:
I, L, L, E, N, N, I, U
অর্থাৎ, মোট ৮টি অক্ষর।

এই ৮টি অক্ষরের মধ্যে পুনরাবৃত্ত অক্ষরগুলো হলো:

• I আছে ২ বার

• L আছে ২ বার

• N আছে ২ বার

এখন এই ৮টি অক্ষরকে সাজানোর উপায় সংখ্যা হবে:
= ৮! / (২! × ২! × ২!)
= (৮ × ৭ × ৬ × ৫ × ৪ × ৩ × ২ × ১) / ((২ × ১) × (২ × ১) × (২ × ১))
= ৪০৩২০ / (২ × ২ × ২)
= ৪০৩২০ / ৮
= ৫০৪০

সুতরাং, যে বিন্যাসগুলিতে প্রথমে এবং শেষে 'M' থাকবে, তাদের সংখ্যা হলো ৫০৪০। এটি আপনার প্রদত্ত উত্তরের সাথে মিলে যায়।