কোন ত্রিভুজের একটি কোণ অপর একটি কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর হলে, বৃহত্তর কোণের বিপরীত বাহু ক্ষুদ্রতর কোণের বিপরীত বাহু অপেক্ষা -
Solution
Correct Answer: Option B
সাধারণ প্রতিজ্ঞা: কোনো ত্রিভুজের একটি কোণ অপর একটি কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর হলে, বৃহত্তর কোণের বিপরীত বাহু ক্ষুদ্রতর কোণের বিপরীত বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হবে।
বিশেষ নির্বচন:
মনে করি, $\triangle{ABC}$ -এ $\angle{ABC} > \angle{ACB}$। প্রমাণ করতে হবে যে, $AC > AB$।
অঙ্কন:
$\angle{ABC}$ কে সমান দুইভাগে ভাগ করি যেন $BD$ রেখা $AC$ কে $D$ বিন্দুতে ছেদ করে।
এখন, $AB$ বাহুর ওপর $E$ এমন একটি বিন্দু নিই যেন $AB = AE$ হয় এবং $A, E$ যোগ করি।
তবে, প্রমাণটি পাঠ্যবইয়ের উপপাদ্যের স্বীকার্যের মাধ্যমে সরাসরি এভাবে দেওয়া হয়:
প্রমাণ:
আমরা জানি, ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহুর বিপরীত কোণ বৃহত্তম। এর বিপরীত উপপাদ্যটিও সত্য।
ধরি, $\triangle{ABC}$ একটি ত্রিভুজ।
যদি $AC$ এবং $AB$ সমান হতো ($AC = AB$), তবে $\angle{ABC} = \angle{ACB}$ হতো। কিন্তু দেওয়া আছে $\angle{ABC} > \angle{ACB}$। সুতরাং $AC$ ও $AB$ সমান হতে পারে না।
আবার, যদি $AC < AB$ হতো, তবে $\angle{ABC} < \angle{ACB}$ হতো (কারণ ক্ষুদ্রতর বাহুর বিপরীত কোণ ক্ষুদ্রতর হয়)। কিন্তু এটি শর্তবিরোধী।
সুতরাং, $AC$ অবশ্যই $AB$ এর চেয়ে বড় হতে হবে।
$\therefore AC > AB$
অর্থাৎ, বৃহত্তর কোণের বিপরীত বাহু বৃহত্তর। [প্রমাণিত]
শর্টকাট টেকনিক:
যেকোনো ত্রিভুজের বাহু ও কোণের সম্পর্কের একটি মৌলিক নিয়ম মনে রাখবেন:
১. বড় কোণের উল্টো দিকের বাহু সবসময় বড় (Greater) হয়।
২. ছোট কোণের উল্টো দিকের বাহু সবসময় ছোট (Smaller) হয়।
৩. চাক্ষুষ প্রমাণ: একটি ত্রিভুজ আঁকুন যার একটি কোণ খুব বড় (যেমন $120^\circ$)। দেখবেন তার উল্টো দিকের বাহুটিই সবচেয়ে লম্বা।
বিশেষ নির্বচন:
মনে করি, $\triangle{ABC}$ -এ $\angle{ABC} > \angle{ACB}$। প্রমাণ করতে হবে যে, $AC > AB$।
অঙ্কন:
$\angle{ABC}$ কে সমান দুইভাগে ভাগ করি যেন $BD$ রেখা $AC$ কে $D$ বিন্দুতে ছেদ করে।
এখন, $AB$ বাহুর ওপর $E$ এমন একটি বিন্দু নিই যেন $AB = AE$ হয় এবং $A, E$ যোগ করি।
তবে, প্রমাণটি পাঠ্যবইয়ের উপপাদ্যের স্বীকার্যের মাধ্যমে সরাসরি এভাবে দেওয়া হয়:
প্রমাণ:
আমরা জানি, ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহুর বিপরীত কোণ বৃহত্তম। এর বিপরীত উপপাদ্যটিও সত্য।
ধরি, $\triangle{ABC}$ একটি ত্রিভুজ।
যদি $AC$ এবং $AB$ সমান হতো ($AC = AB$), তবে $\angle{ABC} = \angle{ACB}$ হতো। কিন্তু দেওয়া আছে $\angle{ABC} > \angle{ACB}$। সুতরাং $AC$ ও $AB$ সমান হতে পারে না।
আবার, যদি $AC < AB$ হতো, তবে $\angle{ABC} < \angle{ACB}$ হতো (কারণ ক্ষুদ্রতর বাহুর বিপরীত কোণ ক্ষুদ্রতর হয়)। কিন্তু এটি শর্তবিরোধী।
সুতরাং, $AC$ অবশ্যই $AB$ এর চেয়ে বড় হতে হবে।
$\therefore AC > AB$
অর্থাৎ, বৃহত্তর কোণের বিপরীত বাহু বৃহত্তর। [প্রমাণিত]
শর্টকাট টেকনিক:
যেকোনো ত্রিভুজের বাহু ও কোণের সম্পর্কের একটি মৌলিক নিয়ম মনে রাখবেন:
১. বড় কোণের উল্টো দিকের বাহু সবসময় বড় (Greater) হয়।
২. ছোট কোণের উল্টো দিকের বাহু সবসময় ছোট (Smaller) হয়।
৩. চাক্ষুষ প্রমাণ: একটি ত্রিভুজ আঁকুন যার একটি কোণ খুব বড় (যেমন $120^\circ$)। দেখবেন তার উল্টো দিকের বাহুটিই সবচেয়ে লম্বা।
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions