দুই অংকবিশিষ্ট কোন সংখ্যার অংক দুটির অন্তর ২।অঙ্কদুটি স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, তা প্রদত্ত সংখ্যার দিগুন অপেক্ষা ৬ কম। সংখ্যাটি কত?
সমাধান
সঠিক উত্তর: Option D
ধরি,
সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক = $x$
এবং দশক স্থানীয় অঙ্ক = $y$
সুতরাং, সংখ্যাটি = $10y + x$
১ম শর্তমতে:
অঙ্ক দুটির অন্তর ২। এখানে যেহেতু অপশনগুলো (৫৭, ৪৬, ৫৩, ২৪) আছে, আমাদের বুঝতে হবে কোন অঙ্কটি বড়। ছোট সংখ্যা ২৪ এর ক্ষেত্রে একক স্থানীয় অঙ্ক বড় হতে পারে আবার বড় সংখ্যা ৪৬ বা ৫৩ এর ক্ষেত্রে দশক স্থানীয়। তবে সাধারণ সমাধানের জন্য আমরা পরম মান ব্যবহার করতে পারি অথবা সরাসরি সমীকরণ গঠন করতে পারি।
$x \sim y = 2$ ... (i)
২য় শর্তমতে:
অঙ্কদুটি স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, তা প্রদত্ত সংখ্যার দ্বিগুণ অপেক্ষা ৬ কম।
স্থান বিনিময়কৃত সংখ্যা = $10x + y$
প্রশ্নানুসারে,
$(10x + y) = 2(10y + x) - 6$
বা, $10x + y = 20y + 2x - 6$
বা, $10x - 2x + y - 20y = -6$
বা, $8x - 19y = -6$ .... (ii)
এখন, আমরা অপশনগুলো যাচাই করে দেখি কোনটির অঙ্কগুলোর অন্তর ২।
৫৭ $\rightarrow$ $7-5=2$
৪৬ $\rightarrow$ $6-4=2$
৫৩ $\rightarrow$ $5-3=2$
২৪ $\rightarrow$ $4-2=2$
সবগুলো অপশনই ১ম শর্ত পূরণ করে। তাই আমাদের ২য় শর্ত দিয়ে যাচাই করতে হবে।
যদি সংখ্যাটি ২৪ হয়:
প্রদত্ত সংখ্যা = ২৪
স্থান বিনিময় করলে পাওয়া যায় = ৪২
শর্তমতে, নতুন সংখ্যাটি হতে হবে (২ $\times$ ২৪) - ৬
= ৪৮ - ৬
= ৪২
যা স্থান বিনিময়কৃত সংখ্যার সমান। অর্থাৎ শর্ত মিলে গেছে।
যদি সংখ্যাটি ৪৬ হয়:
স্থান বিনিময় করলে = ৬৪
শর্তমতে হতে হবে = (২ $\times$ ৪৬) - ৬ = ৯২ - ৬ = ৮৬। (কিন্তু আছে ৬৪, তাই এটি উত্তর নয়)
অতএব, নির্ণেয় সংখ্যাটি ২৪।
বিকল্প উপায় (টেক্সটবুক স্টাইল):
ধরি, সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্কটি $x$।
যেহেতু একক ও দশক স্থানীয় অঙ্কের অন্তর ২ এবং সংখ্যাটি ছোট হওয়ার সম্ভাবনা বেশি (অপশন দেখে), তাই দশক স্থানীয় অঙ্কটি হবে $(x - 2)$।
$\therefore$ সংখ্যাটি = $10(x - 2) + x = 10x - 20 + x = 11x - 20$
স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি হয় = $10x + (x - 2) = 11x - 2$
প্রশ্নমতে,
$11x - 2 = 2(11x - 20) - 6$
বা, $11x - 2 = 22x - 40 - 6$
বা, $11x - 2 = 22x - 46$
বা, $46 - 2 = 22x - 11x$
বা, $44 = 11x$
বা, $x = 44 / 11$
বা, $x = 4$
$\therefore$ একক স্থানীয় অঙ্কটি ৪।
দশক স্থানীয় অঙ্কটি = $4 - 2 = 2$।
$\therefore$ সংখ্যাটি = $(10 \times 2) + 4 = 24$।
শর্টকাট টেকনিক (অপশন টেস্ট):
পরীক্ষার হলে সমীকরণ গঠন না করে অপশন টেস্ট করাই সবচেয়ে বুদ্ধিমানের কাজ।
ধাপ-১: প্রতিটি অপশনের অঙ্কদ্বয়ের পার্থক্য দেখুন।
৫৭ $\rightarrow$ ২, ৪৬ $\rightarrow$ ২, ৫৩ $\rightarrow$ ২, ২৪ $\rightarrow$ ২। (সবগুলোই ঠিক আছে)
ধাপ-২: ২য় শর্ত প্রয়োগ করুন ( উল্টো সংখ্যা = ২ $\times$ আসল সংখ্যা - ৬ )।
অপশন (২৪):
আসল সংখ্যা ২৪, উল্টোলে হয় ৪২।
শর্ত: (২৪ $\times$ ২) - ৬ = ৪৮ - ৬ = ৪২।
মিলে গেছে! সুতরাং উত্তর ২৪।
সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক = $x$
এবং দশক স্থানীয় অঙ্ক = $y$
সুতরাং, সংখ্যাটি = $10y + x$
১ম শর্তমতে:
অঙ্ক দুটির অন্তর ২। এখানে যেহেতু অপশনগুলো (৫৭, ৪৬, ৫৩, ২৪) আছে, আমাদের বুঝতে হবে কোন অঙ্কটি বড়। ছোট সংখ্যা ২৪ এর ক্ষেত্রে একক স্থানীয় অঙ্ক বড় হতে পারে আবার বড় সংখ্যা ৪৬ বা ৫৩ এর ক্ষেত্রে দশক স্থানীয়। তবে সাধারণ সমাধানের জন্য আমরা পরম মান ব্যবহার করতে পারি অথবা সরাসরি সমীকরণ গঠন করতে পারি।
$x \sim y = 2$ ... (i)
২য় শর্তমতে:
অঙ্কদুটি স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, তা প্রদত্ত সংখ্যার দ্বিগুণ অপেক্ষা ৬ কম।
স্থান বিনিময়কৃত সংখ্যা = $10x + y$
প্রশ্নানুসারে,
$(10x + y) = 2(10y + x) - 6$
বা, $10x + y = 20y + 2x - 6$
বা, $10x - 2x + y - 20y = -6$
বা, $8x - 19y = -6$ .... (ii)
এখন, আমরা অপশনগুলো যাচাই করে দেখি কোনটির অঙ্কগুলোর অন্তর ২।
৫৭ $\rightarrow$ $7-5=2$
৪৬ $\rightarrow$ $6-4=2$
৫৩ $\rightarrow$ $5-3=2$
২৪ $\rightarrow$ $4-2=2$
সবগুলো অপশনই ১ম শর্ত পূরণ করে। তাই আমাদের ২য় শর্ত দিয়ে যাচাই করতে হবে।
যদি সংখ্যাটি ২৪ হয়:
প্রদত্ত সংখ্যা = ২৪
স্থান বিনিময় করলে পাওয়া যায় = ৪২
শর্তমতে, নতুন সংখ্যাটি হতে হবে (২ $\times$ ২৪) - ৬
= ৪৮ - ৬
= ৪২
যা স্থান বিনিময়কৃত সংখ্যার সমান। অর্থাৎ শর্ত মিলে গেছে।
যদি সংখ্যাটি ৪৬ হয়:
স্থান বিনিময় করলে = ৬৪
শর্তমতে হতে হবে = (২ $\times$ ৪৬) - ৬ = ৯২ - ৬ = ৮৬। (কিন্তু আছে ৬৪, তাই এটি উত্তর নয়)
অতএব, নির্ণেয় সংখ্যাটি ২৪।
বিকল্প উপায় (টেক্সটবুক স্টাইল):
ধরি, সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্কটি $x$।
যেহেতু একক ও দশক স্থানীয় অঙ্কের অন্তর ২ এবং সংখ্যাটি ছোট হওয়ার সম্ভাবনা বেশি (অপশন দেখে), তাই দশক স্থানীয় অঙ্কটি হবে $(x - 2)$।
$\therefore$ সংখ্যাটি = $10(x - 2) + x = 10x - 20 + x = 11x - 20$
স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি হয় = $10x + (x - 2) = 11x - 2$
প্রশ্নমতে,
$11x - 2 = 2(11x - 20) - 6$
বা, $11x - 2 = 22x - 40 - 6$
বা, $11x - 2 = 22x - 46$
বা, $46 - 2 = 22x - 11x$
বা, $44 = 11x$
বা, $x = 44 / 11$
বা, $x = 4$
$\therefore$ একক স্থানীয় অঙ্কটি ৪।
দশক স্থানীয় অঙ্কটি = $4 - 2 = 2$।
$\therefore$ সংখ্যাটি = $(10 \times 2) + 4 = 24$।
শর্টকাট টেকনিক (অপশন টেস্ট):
পরীক্ষার হলে সমীকরণ গঠন না করে অপশন টেস্ট করাই সবচেয়ে বুদ্ধিমানের কাজ।
ধাপ-১: প্রতিটি অপশনের অঙ্কদ্বয়ের পার্থক্য দেখুন।
৫৭ $\rightarrow$ ২, ৪৬ $\rightarrow$ ২, ৫৩ $\rightarrow$ ২, ২৪ $\rightarrow$ ২। (সবগুলোই ঠিক আছে)
ধাপ-২: ২য় শর্ত প্রয়োগ করুন ( উল্টো সংখ্যা = ২ $\times$ আসল সংখ্যা - ৬ )।
অপশন (২৪):
আসল সংখ্যা ২৪, উল্টোলে হয় ৪২।
শর্ত: (২৪ $\times$ ২) - ৬ = ৪৮ - ৬ = ৪২।
মিলে গেছে! সুতরাং উত্তর ২৪।
