1² + 3² + 5² + ....................... + 31² = কত?

 

আমরা জানি, প্রথম $n$ সংখ্যক বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টির সূত্র হলো:
$\frac{n(4n^2 - 1)}{3}$
অথবা,
$\frac{n(2n - 1)(2n + 1)}{3}$

এখানে সিরিজটি হলো: $1^2 + 3^2 + 5^2 + ....................... + 31^2$
পদসংখ্যা বের করতে হবে। এটি একটি সমান্তর ধারা যার প্রথম পদ $a = 1$, সাধারণ অন্তর $d = 2$, এবং শেষ পদ $= 31$।
ধরি, পদসংখ্যা $= n$
আমরা জানি, $n$-তম পদ $= a + (n-1)d$
বা, $31 = 1 + (n-1)2$
বা, $30 = (n-1)2$
বা, $n-1 = 15$
$\therefore n = 16$

এখন, সূত্রে $n = 16$ বসিয়ে পাই:
সমষ্টি $= \frac{16(4 \times 16^2 - 1)}{3}$
$= \frac{16(4 \times 256 - 1)}{3}$
$= \frac{16(1024 - 1)}{3}$
$= \frac{16 \times 1023}{3}$
$= 16 \times 341$
$= 5456$

বিকল্প পদ্ধতি (সাধারণ সূত্র ব্যবহার করে):
স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টির সূত্র ব্যবহার করেও এটি করা যায়।
প্রদত্ত রাশি $= 1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + 31^2$
আমরা জানি, $1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

এখন, বিজোড় সংখ্যার বর্গের সমষ্টি বের করতে হলে, ১ থেকে ৩১ পর্যন্ত সকল সংখ্যার বর্গের সমষ্টি থেকে জোড় সংখ্যার বর্গের সমষ্টি বিয়োগ করতে হবে।
$\therefore (1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 31^2) - (2^2 + 4^2 + 6^2 + ... + 30^2)$
$= (1^2 + 2^2 + ... + 31^2) - 2^2(1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 15^2)$ [৪ কমন নিয়ে]
$= \frac{31(31+1)(2 \times 31+1)}{6} - 4 \times \frac{15(15+1)(2 \times 15+1)}{6}$
$= \frac{31 \times 32 \times 63}{6} - 4 \times \frac{15 \times 16 \times 31}{6}$
$= (31 \times 16 \times 21) - (2 \times 15 \times 16 \times 31) \div 3$
$= 10416 - 4960$
$= 5456$

সতর্কতা: প্রদত্ত অপশনগুলোতে (২৫৮, ২৫৬, ২৫৪, ২৫২) সঠিক উত্তর নেই। সঠিক উত্তর হবে 5456। প্রশ্ন বা অপশনে ভুল থাকতে পারে। তবে প্রদত্ত অপশন অনুযায়ী কোনো উত্তর মিলছে না বিধায় সঠিক ক্যালকুলশনটি দেখানো হলো।

শর্টকাট টেকনিক (MCQ এর জন্য):
বিজোড় সংখ্যার বর্গের সমষ্টির সরাসরি সূত্র:
$$Sum = \frac{\text{Last Term} \times (\text{Last Term} + 1) \times (\text{Last Term} + 2)}{6}$$
(এখানে Last Term হলো শেষ সংখ্যাটি, পদসংখ্যা নয়)

এখানে শেষ সংখ্যাটি (Last Term) = 31
$\therefore Sum = \frac{31 \times (31+1) \times (31+2)}{6}$
$= \frac{31 \times 32 \times 33}{6}$
$= \frac{32736}{6}$
$= 5456$