Two men,starting at the same point,walk in opposite directions for 4 meters,turn left and walk another 3 meters.What is the distance between them?
সমাধান
সঠিক উত্তর: Option C
মনে করি, দুইজন ব্যক্তির যাত্রার শুরুর বিন্দু হলো O।
যেহেতু তারা বিপরীত দিকে যাত্রা শুরু করেছে, ধরি একজন উত্তর দিকে এবং অন্যজন দক্ষিণ দিকে গিয়েছে (অথবা পূর্ব ও পশ্চিম ধরা যেতে পারে, ফলাফল একই হবে)।
১ম ব্যক্তি:
প্রথমে O বিন্দু থেকে পশ্চিম দিকে 4 meters গিয়ে A বিন্দুতে পৌঁছাল।
এরপর বাম দিকে মোড় নিয়ে (পশ্চিমের বাম দিক মানে দক্ষিণ দিক) 3 meters গিয়ে B বিন্দুতে থামল।
এখন, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী শুরুর বিন্দু O থেকে ১ম ব্যক্তির বর্তমান অবস্থান B এর দূরত্ব:
OB² = OA² + AB²
বা, OB² = 4² + 3²
বা, OB² = 16 + 9
বা, OB = √25
বা, OB = 5 meters
২য় ব্যক্তি:
একই সময়ে O বিন্দু থেকে ৩য় ব্যক্তি পূর্ব দিকে (বিপরীত দিক) 4 meters গিয়ে C বিন্দুতে পৌঁছাল।
এরপর বাম দিকে মোড় নিয়ে (পূর্বের বাম দিক মানে উত্তর দিক) 3 meters গিয়ে D বিন্দুতে থামল।
এখানেও, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী শুরুর বিন্দু O থেকে ২য় ব্যক্তির বর্তমান অবস্থান D এর দূরত্ব:
OD² = OC² + CD²
বা, OD² = 4² + 3²
বা, OD² = 16 + 9
বা, OD = √25
বা, OD = 5 meters
এখন, লক্ষ্য করি যে, ১ম ব্যক্তি মূল বিন্দুর দক্ষিণে এবং ২য় ব্যক্তি মূল বিন্দুর উত্তরে অবস্থান করছে। তাদের মধ্যবর্তী সরলরৈখিক দূরত্ব বের করতে হলে আমাদের একটু জ্যামিতিক কল্পনা করতে হবে।
আসলে, দুই ব্যক্তি একে অপরের ঠিক বিপরীত দিকে সরে গেছে এবং তাদের পথের আকৃতি অনেকটা একটি সরলরেখার দুই প্রান্তে দুইটি ত্রিভুজের অতিভুজের মতো।
সহজ ভাবে চিন্তা করলে,
১ম ব্যক্তি অনুভূমিকভাবে (Horizontal) সরেছে = 4 মি. এবং উলম্বভাবে (Vertical) সরেছে = 3 মি.
২য় ব্যক্তি অনুভূমিকভাবে (বিপরীত দিকে) সরেছে = 4 মি. এবং উলম্বভাবে (বিপরীত দিকে) সরেছে = 3 মি.
তাদের মোট অনুভূমিক দূরত্ব (Total Horizontal Distance) = 4 + 4 = 8 meters
তাদের মোট উলম্ব দূরত্ব (Total Vertical Distance) = 3 + 3 = 6 meters (কারণ একজন উত্তরে, অন্যজন দক্ষিণে)
এখন তাদের একে অপরের সরাসরি দূরত্ব বের করতে পিথাগোরাসের সুত্র ব্যবহার করব:
নির্ণেয় দূরত্ব = √{(মোট অনুভূমিক দূরত্ব)² + (মোট উলম্ব দূরত্ব)²}
= √(8² + 6²)
= √(64 + 36)
= √100
= 10 meters
শর্টকাট টেকনিক:
এ ধরণের অঙ্কে যখন দুইজন ব্যক্তি একই বিন্দু থেকে বিপরীত দিকে যাত্রা করে এবং একই দূরত্ব অতিক্রম করে একই দিকে (যেমন উভয়েই বামে বা ডানে) মোড় নেয়, তখন তাদের গতিপথের জ্যামিতিক চিত্রটি প্রতিসম (Symmetrical) হয়।
সহজ উপায় হলো একজনের অতিক্রান্ত দূরত্বের অতিভুজ (Hypotenuse) বের করে তাকে দ্বিগুণ করে দেওয়া।
এখানে একজনের ক্ষেত্রে অতিভুজ = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5 meters.
যেহেতু দুইজন বিপরীত দিকে গিয়েছে, তাই মোট দূরত্ব = 5 × 2 = 10 meters.
যেহেতু তারা বিপরীত দিকে যাত্রা শুরু করেছে, ধরি একজন উত্তর দিকে এবং অন্যজন দক্ষিণ দিকে গিয়েছে (অথবা পূর্ব ও পশ্চিম ধরা যেতে পারে, ফলাফল একই হবে)।
১ম ব্যক্তি:
প্রথমে O বিন্দু থেকে পশ্চিম দিকে 4 meters গিয়ে A বিন্দুতে পৌঁছাল।
এরপর বাম দিকে মোড় নিয়ে (পশ্চিমের বাম দিক মানে দক্ষিণ দিক) 3 meters গিয়ে B বিন্দুতে থামল।
এখন, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী শুরুর বিন্দু O থেকে ১ম ব্যক্তির বর্তমান অবস্থান B এর দূরত্ব:
OB² = OA² + AB²
বা, OB² = 4² + 3²
বা, OB² = 16 + 9
বা, OB = √25
বা, OB = 5 meters
২য় ব্যক্তি:
একই সময়ে O বিন্দু থেকে ৩য় ব্যক্তি পূর্ব দিকে (বিপরীত দিক) 4 meters গিয়ে C বিন্দুতে পৌঁছাল।
এরপর বাম দিকে মোড় নিয়ে (পূর্বের বাম দিক মানে উত্তর দিক) 3 meters গিয়ে D বিন্দুতে থামল।
এখানেও, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী শুরুর বিন্দু O থেকে ২য় ব্যক্তির বর্তমান অবস্থান D এর দূরত্ব:
OD² = OC² + CD²
বা, OD² = 4² + 3²
বা, OD² = 16 + 9
বা, OD = √25
বা, OD = 5 meters
এখন, লক্ষ্য করি যে, ১ম ব্যক্তি মূল বিন্দুর দক্ষিণে এবং ২য় ব্যক্তি মূল বিন্দুর উত্তরে অবস্থান করছে। তাদের মধ্যবর্তী সরলরৈখিক দূরত্ব বের করতে হলে আমাদের একটু জ্যামিতিক কল্পনা করতে হবে।
আসলে, দুই ব্যক্তি একে অপরের ঠিক বিপরীত দিকে সরে গেছে এবং তাদের পথের আকৃতি অনেকটা একটি সরলরেখার দুই প্রান্তে দুইটি ত্রিভুজের অতিভুজের মতো।
সহজ ভাবে চিন্তা করলে,
১ম ব্যক্তি অনুভূমিকভাবে (Horizontal) সরেছে = 4 মি. এবং উলম্বভাবে (Vertical) সরেছে = 3 মি.
২য় ব্যক্তি অনুভূমিকভাবে (বিপরীত দিকে) সরেছে = 4 মি. এবং উলম্বভাবে (বিপরীত দিকে) সরেছে = 3 মি.
তাদের মোট অনুভূমিক দূরত্ব (Total Horizontal Distance) = 4 + 4 = 8 meters
তাদের মোট উলম্ব দূরত্ব (Total Vertical Distance) = 3 + 3 = 6 meters (কারণ একজন উত্তরে, অন্যজন দক্ষিণে)
এখন তাদের একে অপরের সরাসরি দূরত্ব বের করতে পিথাগোরাসের সুত্র ব্যবহার করব:
নির্ণেয় দূরত্ব = √{(মোট অনুভূমিক দূরত্ব)² + (মোট উলম্ব দূরত্ব)²}
= √(8² + 6²)
= √(64 + 36)
= √100
= 10 meters
শর্টকাট টেকনিক:
এ ধরণের অঙ্কে যখন দুইজন ব্যক্তি একই বিন্দু থেকে বিপরীত দিকে যাত্রা করে এবং একই দূরত্ব অতিক্রম করে একই দিকে (যেমন উভয়েই বামে বা ডানে) মোড় নেয়, তখন তাদের গতিপথের জ্যামিতিক চিত্রটি প্রতিসম (Symmetrical) হয়।
সহজ উপায় হলো একজনের অতিক্রান্ত দূরত্বের অতিভুজ (Hypotenuse) বের করে তাকে দ্বিগুণ করে দেওয়া।
এখানে একজনের ক্ষেত্রে অতিভুজ = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5 meters.
যেহেতু দুইজন বিপরীত দিকে গিয়েছে, তাই মোট দূরত্ব = 5 × 2 = 10 meters.
