x+y-1=0,x-y+1=0 এবং y+3=0 সরল রেখা তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজটি-

প্রদত্ত সরলরেখা তিনটি হলো:
$x + y - 1 = 0 \quad \dots \dots (i)$
$x - y + 1 = 0 \quad \dots \dots (ii)$
$y + 3 = 0 \quad \dots \dots (iii)$
প্রথমে আমরা রেখাগুলোর ছেদবিন্দু নির্ণয় করে ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো বের করব।

১. A বিন্দু নির্ণয় [(i) ও (ii) এর ছেদবিন্দু]:
সমীকরণ $(i)$ ও $(ii)$ যোগ করে পাই,
$x + y - 1 + x - y + 1 = 0$
$\Rightarrow 2x = 0$
$\therefore x = 0$
(i) নং সমীকরণে $x=0$ বসিয়ে পাই,
$0 + y - 1 = 0$
$\therefore y = 1$
সুতরাং, একটি শীর্ষবিন্দু $A(0, 1)$

২. B বিন্দু নির্ণয় [(ii) ও (iii) এর ছেদবিন্দু]:
(iii) নং হতে পাই, $y = -3$
(ii) নং এ $y = -3$ বসিয়ে পাই,
$x - (-3) + 1 = 0$
$\Rightarrow x + 3 + 1 = 0$
$\Rightarrow x + 4 = 0$
$\therefore x = -4$
সুতরাং, দ্বিতীয় শীর্ষবিন্দু $B(-4, -3)$

৩. C বিন্দু নির্ণয় [(i) ও (iii) এর ছেদবিন্দু]:
(iii) নং হতে পাই, $y = -3$
(i) নং এ $y = -3$ বসিয়ে পাই,
$x + (-3) - 1 = 0$
$\Rightarrow x - 4 = 0$
$\therefore x = 4$
সুতরাং, তৃতীয় শীর্ষবিন্দু $C(4, -3)$

এখন, আমরা বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করব:
$AB = \sqrt{(0 - (-4))^2 + (1 - (-3))^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ একক।
$AC = \sqrt{(0 - 4)^2 + (1 - (-3))^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ একক।
$BC = \sqrt{(4 - (-4))^2 + (-3 - (-3))^2} = \sqrt{(4+4)^2 + 0} = \sqrt{8^2} = 8$ একক।

যেহেতু, $AB = AC = 4\sqrt{2}$ এবং $BC = 8$
অর্থাৎ, ত্রিভুজটির দুটি বাহু সমান কিন্তু তৃতীয় বাহুটি অসমান।
$\therefore$ ত্রিভুজটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

শর্টকাট টেকনিক:
যদি দুটি সরলরেখার সমীকরণে $x$ ও $y$ এর সহগগুলোর স্থান বিনিময় হয় এবং মাঝখানের চিহ্ন বিপরীত হয় (যেমন: $ax + by + c = 0$ এবং $bx - ay + k = 0$), তবে তারা পরস্পর লম্ব হয়।
এখানে $x+y...$ এবং $x-y...$ আছে (১ম রেখার সহগ ১,১ এবং ২য় রেখার ১,-১)। গুণফল $1(1) + 1(-1) = 0$, তাই তারা লম্ব। এর মানে ত্রিভুজটি সমকোণী।
আবার, এই দুটি রেখা $y = -3$ রেখার (অনুভূমিক রেখা) সাথে ছেদ করে সমান কোণ বা প্রতিসম ত্রিভুজ গঠন করবে কিনা তা সহগের মান দেখে অনুমান করা যায়। সহজভাবে ছেদবিন্দুগুলো বের করে বাহুর দূরত্ব দেখাই বুদ্ধিমানের কাজ।