প্রতিটি Letter একবার ব্যবহার করে ORANGE থেকে কতগুলি ৫ অক্ষরের শব্দ গঠন করা যায় ?

দেওয়া আছে, শব্দটি হলো ORANGE।
শব্দটিতে মোট বর্ণের সংখ্যা
= 6টি (O, R, A, N, G, E)
যেহেতু কোনো বর্ণ একাধিকবার নেই, তাই সবগুলি বর্ণই ভিন্ন ভিন্ন।
আমাদেরকে 5 অক্ষরের শব্দ গঠন করতে হবে। যেহেতু প্রতিটি বর্ণ একবারই ব্যবহার করা যাবে, তাই এটি একটি বিন্যাস (Permutation)-এর সমস্যা।
আমরা জানি, $n$ সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন জিনিস থেকে প্রতিবার $r$ সংখ্যক জিনিস নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যা হলো ${}^nP_r$।

এখানে,
মোট বর্ণ সংখ্যা, $n = 6$
নিতে হবে, $r = 5$

অতএব, নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা বা শব্দ গঠনের সংখ্যা,
= ${}^6P_5$
= $\frac{6!}{(6-5)!}$ [সূত্র: ${}^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$]
= $\frac{6!}{1!}$
= $\frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{1}$
= $720$
সুতরাং, ORANGE থেকে প্রতিটি বর্ণ একবার ব্যবহার করে ৫ অক্ষরের মোট 720 টি শব্দ গঠন করা যায়।

বিকল্প পদ্ধতি (শর্টকাট):
আমাদের ৫টি স্থান পূরণ করতে হবে: `_ _ _ _ _`
- ১ম স্থানটি পূরণ করা যায় ৬টি উপায়ে (যেকোনো একটি বর্ণ)।
- ২য় স্থানটি পূরণ করা যায় ৫টি উপায়ে (বাকি থাকা ৫টি বর্ণের যেকোনো একটি)।
- ৩য় স্থানটি পূরণ করা যায় ৪টি উপায়ে।
- ৪র্থ স্থানটি পূরণ করা যায় ৩টি উপায়ে।
- ৫ম স্থানটি পূরণ করা যায় ২টি উপায়ে।
মোট উপায় = $6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 720$