ARRANGE শব্দটির বর্ণগুলো কত প্রকারে সাজানো যায়, যাতে R-দুইটি পাশাপাশি থাকবে না।

'ARRANGE' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে ৭টি।
এর মধ্যে দুটি 'A' এবং দুটি 'R' আছে।

ধাপ ১: মোট বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয়
যদি কোনো শর্ত না থাকে, তবে 'ARRANGE' শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে মোট বিন্যাস সংখ্যা হবে:
$ \frac{7!}{2! \times 2!} $
= $ \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 2 \times 1} $
= $ \frac{5040}{4} $
= 1260 টি।

ধাপ ২: দুটি 'R' পাশাপাশি রেখে বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয়
এখন, দুটি 'R'-কে একটি বর্ণ (RR) বিবেচনা করলে মোট বর্ণ সংখ্যা হবে (৭ - ২ + ১) = ৬টি।
এই ৬টি বর্ণের মধ্যে দুটি 'A' একই জাতীয়।
সুতরাং, দুটি 'R' পাশাপাশি রেখে সাজানোর সংখ্যা:
$ \frac{6!}{2!} $
= $ \frac{720}{2} $
= 360 টি।

ধাপ ৩: দুটি 'R' পাশাপাশি না রেখে বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয়
আমাদের বের করতে হবে কত প্রকারে সাজানো যায় যাতে 'R'-দুইটি পাশাপাশি না থাকে। এটি বের করতে মোট বিন্যাস থেকে 'R' পাশাপাশি থাকার বিন্যাস বিয়োগ করতে হবে।

∴ নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা = (মোট বিন্যাস) - (দুটি 'R' একত্রে থাকার বিন্যাস)
= 1260 - 360
= 900

শর্টকাট মেথড (Gap Method):
'R' দুটিকে পাশাপাশি না রাখতে হলে, প্রথমে 'R' বাদে বাকি বর্ণগুলোকে (A, A, N, G, E) সাজাতে হবে।
'ARRANGE' শব্দে 'R' বাদে বর্ণ আছে ৫টি (A, A, N, G, E)। এদের মধ্যে 'A' আছে ২টি।
এদের সাজানোর উপায় = $ \frac{5!}{2!} $ = 60 টি।

এখন, এই ৫টি বর্ণের মাঝে ও দুই প্রান্তে মোট গ্যাপ বা ফাঁকা স্থান সৃষ্টি হয় (৫ + ১) = ৬টি।
_ A _ A _ N _ G _ E _
এই ৬টি স্থানে ২টি 'R' বসাতে হবে। যেহেতু 'R' দুটি একই জাতীয়, তাই এদের সাজানোর উপায় হবে:
$ ^{6}C_{2} $ (কারণ দুটি একই জিনিস স্থান পরিবর্তন করলে নতুন বিন্যাস হয় না, তাই Permutation না হয়ে Combination হবে, অথবা $ \frac{^{6}P_{2}}{2!} $ হবে)
= $ \frac{6 \times 5}{2} $ = 15 টি।

∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা = 60 × 15 = 900

সঠিক উত্তর: ৯০০